3.3.1.2. Критерий Романовского

Статистика критерия:

(83)

где

(84)

(85)

Если , то нулевая гипотеза равенства дисперсий отклоняется с достоверностью не менее 0,89.

Пример 13 Имеются две выборки нормально распределенных случайных величин 2,1; 3,1; 4,8; 6,1; 7,4; 8,5; 10,1; 12,1; 14,0; 15,6; 4,6; 6,1; 8,2; 9,8; 9,9; 10,4;13,1; 14,5; 16,1; 19,1. Проверить гипотезу равенства дисперсий критерием Романовского. Решение По формуле (84) вычисляем: По формуле (85) находим: Находим статистику критерия (83): Так как , нулевая гипотеза равенства дисперсий не отклоняется.

3.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для выборок

Пусть - взаимно независимые выборочные оценки дисперсий по выборкам объема . Проверяется нулевая гипотеза : против альтернативы : (для ).

В литературе встречается множество различных критериев проверки данной гипотезы. В виду ограниченности объема, рассмотрим критерий Бартлетта, критерий Кохрена и критерий Самиуддина. Другие критерии, такие как: критерий Неймана-Пирсона, критерий Блисса-Кохрана-Тьюки [18], Критерий Хартли [19], критерий Кэдуэлла-Лесли-Брауна [20,21] можно найти в [6].

3.3.2.1. Критерии Бартлетта

Пусть генеральные совокупности распределены нор­мально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки объемов . По выборкам найдены исправленные выбороч­ные дисперсии . Требуется на уровне значимости про­верить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий для всех выборок, т. е. : (в противоположность гипотезе, что какие-то из дисперсий не равны).

Изложим критерий Бартлетта, позволяющий проверить такую гипотезу. Введем обозначения:

пусть - число степеней свободы ;

Сумма чисел степеней свободы:

(86)

Среднее арифметическое исправленных дисперсий, взвешенное по степеням свободы:

(87)

(88)

(89)

Статистикой критерия Бартлетта является величина:

(90)

При условии, что нулевая гипотеза верна, эта статистика распределена примерно как с степенью свободы. Для применения критерия необходимо, чтобы все .

Если , то принимается, в противном случае отвер­гается.

Иногда нет необходимости вычислять величину , а именно: если оказывается, что , то этого достаточно для выполне­ния условия , поскольку .

Замечание: Критерий Бартлетта, как и критерий Фишера, очень чувствителен к отклонениям от нормальности исследуемых выборок. При отклонениях закона распределения серий результатов наблюдений от нормального наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле

₍₉₁₎

_где

₍₉₂₎

(93)

(94)

и вычисляются по тем же формулам, что и в первом случае.

Критическое значение критерия Бартлетта в этом случае равно квантили распределения Фишера со степенями свободы и при заданной доверительной вероятности .

(95)

Пример 14 Имеются четыре выборки случайных величин: 3, 4, 5, 6, 7; 2, 8, 9, 11, 15; 9, 11, 15, 20, 28; 4, 6, 8, 10, 16. Необходимо проверить нулевую гипотезу равенства дисперсий в выборках : критерием Барлетта при доверительной вероятности . Решение Вычисляем оценки средних по формуле (39): , , , . Находим оценки дисперсий по формуле (52): , , , . Вычисляем параметры по формам (86)-(90): ; ; ; . Из табл. 4 для находим . Так как , нулевая гипотеза не отклоняется. Применим теперь уточненный критерий. Находим (92)-(94) ; ; Тогда (91): . Из табл.5. находим . Так как , нулевая гипотеза не отклоняется.