5.1.4 Критерий
Данный критерий следует воспринимать как критерии установления отклонения от нормальности распределения (но не установления нормальности). Коэффициент эксцесса определяется как:
(144)
Для известны соотношения:
(145)
(146)
Распределение медленно стремится к нормальному [52].
Преобразование для коэффициента эксцесса рассмотрены в работе [55]. Распределение может быть аппроксимировано распределением с степенями свободы при
, (147)
где
(148)
В [55] предложено весьма эффективное нормализующее преобразование для коэффициента эксцесса . Алгоритм его построения заключается в следующем.
Если
,
то случайная величина
(149)
аппроксимируется
стандартным нормальным распределением
уже при
.
Нормализующие преобразования позволяют использовать таблицы (или аппроксимации) стандартного нормального распределения для проверки отклонения от нормальности.
Пример 24
По предложенной выборке проверить гипотезу нормальности распределения случайных величин критерием эксцесса на уровне достоверности
: -0.8637 0.0774 -1.2141 -1.1135 -0.0068 1.5326 -0.7697 0.3714 -0.2256 1.1174 -1.0891 0.0326 0.5525 1.1006 1.5442 0.0859 -1.4916 -0.7423 -1.0616 2.3505 -0.6156 0.7481 -0.1924 0.8886 -0.7648 -1.4023 -1.4224 0.4882 -0.1774 -0.1961 1.4193 0.2916 0.1978 1.5877 -0.8045 0.6966 0.8351 -0.2437 0.2157 -1.1658 -1.1480 0.1049 0.7223 2.5855 -0.6669 0.1873 -0.0825 -1.9330 -0.4390 -1.7947 Решение Найдем среднее (39), и стандартное отклонение(52): ; ; Значение коэффициента эксцесса (144):
Вычисляем далее:
Вычислим нормализующее преобразование:
Следовательно,
величина
может быть аппроксимирована
распределением
с
Далее имеем:
Используем
нормализующее преобразование
эмпирического распределения от нормального ( - 95%-я квантиль стандартного нормального распределения. Так как критерий двусторонний, при следует применять ). По
коэффициенту эксцесса имеем
|
.
;
.
степенями свободы.
;
для оценки отклонения
.
Следовательно, гипотеза нормальности
по коэффициенту эксцессане
отклоняется.
5.1.5 Критерий
Мощность критерия проверки отклонения от нормальности может быть повышена применением так называемого комбинированного критерия [53, 56]
(150)
где
и
-
стандартные нормальные эквиваленты
распределений
и
.
Статистика
имеет
-распределение
с
степенями
свободы.
Пример 25
По
предложенной выборке проверить
гипотезу нормальности распределения
случайных величин комбинированным
: -0.8637 0.0774 -1.2141 -1.1135 -0.0068 1.5326 -0.7697 0.3714 -0.2256 1.1174 -1.0891 0.0326 0.5525 1.1006 1.5442 0.0859 -1.4916 -0.7423 -1.0616 2.3505 -0.6156 0.7481 -0.1924 0.8886 -0.7648 -1.4023 -1.4224 0.4882 -0.1774 -0.1961 1.4193 0.2916 0.1978 1.5877 -0.8045 0.6966 0.8351 -0.2437 0.2157 -1.1658 -1.1480 0.1049 0.7223 2.5855 -0.6669 0.1873 -0.0825 -1.9330 -0.4390 -1.7947 Решение Используя расчеты предыдущих примеров, получаем:
Тогда, окончательно (150):
Из
табл. 4для
|
критерием на уровне достоверности
,
.
имеем
критическое значение
.
Так как
,
гипотеза нормальности распределения
случайных величин не
отклоняется.