1. Понятие и сущность статистических гипотез

1.1.Постановка проблемы

Рассмотрим совокупность возможных состояний (явлений природы, причин появления событий и т. п.), которые представляют полную группу случайных событий, и пусть ( ) - априорное распределение вероятностей этих состояний. Рассмотрим далее совокуп­ность результатов наблюдений (выборочных зна­чений), зависящих от того, какое из упомянутых состояний в действительности имеет место, и пусть — условное распределение выборочных значений, соот­ветствующее состоянию , .

Имеются: набор решений относительно истинности состояний, правила выбора решения, приписывающие каждому возможному результату наблюдений одно из решений , , а также функция потерь , учиты­вающая последствия выбора решения, и критерий качества выбора решения, связанный с функцией потерь.

Требуется: при заданных распределениях , ,наборе решений функции потерь и критерии качества определить наилучшее в смысле принятого критерия правило (критерий) исполь­зования результатов наблюдений для выбора решения. Это правило является разновидностью стати­стического вывода, получаемого по результатам наблюде­ний, о неизвестных сторонах изучаемого явления, точнее говоря, о принятой математической модели в условиях неполной информации относительно характеристик этой модели.

Замечание:Предполагается, что в процессе извлечения выборочных значений состояние изучаемого явления не изменялось. В противном случае выборка оказывается разнородной, а отдельные ее части принадлежат разным распределениям , и т.д.

1.2. Статистический критерий

Пусть даны выборки из неизвестного совместного распределения, и семейство статистических гипотез . Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

Таким образом, каждой реализации выборки статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу, породившем данную реализацию.

Набор решений представляет собой ряд логических утверждений о том, какая из гипотез относитель­но состояний изучаемого явления истинна. Правило выбора решения устанавливает соответствие между набором решений и возможными результатами наблю­дений, т. е. пространством выборок. Это означает, что пространство выборок должно быть разделено на непересекающихся областей , и тогда пра­вило выбора решения устанавливает соответствие между решениями и областями .Важно подчерк­нуть, что правило выбора решения устанавливается до проведения наблюдения.

Классификация статистических критериев:

По видам:

• Критерии согласия. Проверка предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону распределения.

• Критерии значимости. Проверка гипотезы о численных значениях параметров известного закона распределения.

• Критерии на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт взаимного соответствия их законов распределения (подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном (дисперсионном) анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

По способу отображения:

Правило решения может быть детерминированным(или нерандомизированным). При этом данной области всегда приписывается определенное реше­ние , иначе говоря, если наблюдаемая выборка попадает в область ,то принимается решение ,т. е. утверждается истинность гипотезы о том, что изучаемое явление находит­ся в состоянии . Правило решения может быть рандоми­зированным. При этом для заданных выборочных значе­ний допускается выбор одного из нескольких решений в соответствии с некоторым распределением вероят­ностей. Это распределение пред­ставляет условные вероятности решений при фиксированной выборке . Для детерминированного правила реше­ния лишь для одного зна­чения , и указанная вероятность равна нулю для всех других значений .

Замечание: Рассматриваться будут только детерминированные статистические критерии.

Часто для упрощения в качестве нулевой гипотезы рассмотривается конкретное предположение, а в качестве альтернативной, все остальное пространство возможных вариантов. Тогда выборочное пространство можно разделить на 2 области:

• - область отклонения основной гипотезы (так же называется критической областью),

• - область принятия основной гипотезы (так же называется допустимой областью).

При этом .

Точки границы и называют критическими точками.

Критические области подразделяют на односторонние (право и левосторонние) рис.1 а и б, и двусторонние рис.1 в.

а)

б)

в)

Рис.1. а) правосторонняя, б) левосторонняя, в) двусторонняя критическая область.