5.1.7. Энтропийный критерий нормальности (критерий Васичека)
Критерий основан на том, что энтропия нормального распределения превышает энтропию любого другого распределения с той же дисперсией.
Энтропия
распределения вероятностей с плотностью
равна:
(157)
а ее оценка по выборочным данным
(158)
где
при
;
при
(
-
я
порядковая статистика),
- целое положительное число, меньшее,
чем
.
Статистика критерия Васичека имеет вид [60]:
(159)
где – коэффициент, вычисляемый по формуле(125).
Если
,
где
- критическое значение статистики, то
нулевая гипотеза нормальности
распределения отклоняется на уровне
значимости
.
Значения
для
приведены
втаблице 15. При
,
и
справедливости гипотезы
и
всегда
.
Таблица 15. Значения при
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 5
6
7
8
9
|
1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 |
0,99 1,05 1,19 1,70 1,33 1,77 1,46 1,87 1,87 1,57 1,97 2,05 1,67 2,06 |
9 10
12
14
16
18 |
3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 |
2,13 1,76 2,15 2,21 1,90 2,31 2,36 2,01 2,43 2,49 2,11 2,54 2,60 2,18 |
18
20
25
30
|
2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 |
2,62 2,69 2,67 2,25 2,69 2,77 2,76 2,83 2,93 2,93 2,91 2,93 3,04 3,06 |
30 35
40
45
50
|
5 2 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 |
3,05 3,00 3,13 3,16 3,16 3,19 3,24 3,24 3,25 3,29 3,30 3,29 3,34 3,35 |
Критерий прост, не нуждается в таблице коэффициентов, как критерий Шапиро-Уилки, его асимптотическая эффективность удовлетворительна.Наиболее эффективен критерий Васичека при проверке нормальностираспределения против альтернатив равномерности и экспоненциальности.
Исследования показали [61], что этот критерий чувствительнее к выбросам случайных величин, чем критерий Шапиро—Уилка.
Пример 27
По
данной выборке проверить нормальность
распределения случайных величин
критерием Васичека на уровне значимости
Решение Для
примера используем критерий при
и
при
Из
таблицы 15 находим Так
как По
аналогии имеем
Следовательно, и при приходим к такому же результату. |
:
-1, 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 15.
и
.
Имеем
получаем
.
,
нулевая гипотеза нормальности
распределения не
отклоняется.
.