2. Критерии принятия решений

Плотность вероятности выборки из распределения с независимыми элементами равна

(19)

Совместное распределение выборочных значений называется функцией правдоподобия выборки.

_{Для статистического анализа часто используется отношение правдоподобия:}

(20)

1. Байесовское решение

Введем, прежде всего, функ­цию потерь, которая предписывает каждой из четырех комбинаций и , и , и , и соответствую­щую плату , , . Последние величины удобно представить в виде платежной матрицы

(21)

в которой строки соответствуют гипотезам и а столб­цы — решениям и . По главной диагонали расположены платы за правильные решения(выигрыши), а по побочной — платы (потери) за ошибочные решения. Среднее значение потерь, взвешенное с вероятностями их появления, или средний рискравно

(22)

где

(23)

— условные риски, соответствующие состояниям и .

В качестве критерия для определения правила выбора решений достижение минимальной величины сред­него риска R. В рассматриваемом случае средний рискR зависит от критической области через величины и .

Учитывая определения и получим следующее неравенство:

(24)

Таким образом, оптимальное правило, основанное на кри­терии минимального среднего риска, или байесовское реше­ние, может быть сформулировано следующим образом: принимается решение (отвергается гипотеза ), если для наблюдаемой выборки выполняется неравенство (24), и принимается решение (гипотеза не противоречит выборочным данным), если выполняется неравенство, противополож­ное (24).

Уравнение поверхности, разделяющей в этом случае критическую и допустимую области пространства выборок, имеет вид

(25)

Левую часть этого уравнения называютобобщенным отношением правдоподобия. Процедура проверки простой гипотезы сводится к вычислению обобщенного отношения правдоподобия и сравнению его с постоянным порогом , который для байесовского пра­вила равен

(26)

2. Максимум апостериорной вероятности

Определим апостериорные вероят­ности того, что изучаемое явление находится в состоянии или в состоянии , когда наблюдается выборка . Из (3) в рассматриваемом случае находим

(27)

(28)

Установим следующее правило выбора решения: после того как получена выборка , принимается гипо­теза , если (решение ), в противном случае, гипотеза отвергается. Данное правило можно представить в виде: принимается решение (отвергается гипотеза ), если для наблюдаемой выборки выполняется неравенство

(29)

и принимается решение , если выполняется противоположное неравенство.

Таким образом, максимуму апостериорной вероятности соответствует такая критическая область пространства выборок, точки которой удовлетворяют неравенству (29). Процедура проверки простой гипотезы сводится в этом случае к вычислению обобщенного отношения правдопо­добия и сравнению его с единицей. Нетрудно заметить, что рассматриваемое правило выбора решения является просто частным случаем байе­совского решения, когда порог . Это соот­ветствует равенству плат за решения и либо равенству плат за ошибки , если принимается, что . В последнем случае средний риск оказы­вается равным

(30)

т. е. отличается только константой от априорной вероят­ности ошибок любого рода. Следовательно, правило выбора решения по критерию максимальной апостериорной вероят­ности минимизирует априорную вероятность ошибок. Ина­че говоря, это правило на протяжении длинной последова­тельности принятия решений обеспечивает максимальную частоту правильных решений.