4.2. Критерии хи-квадрат Фишера

Если значения параметров гипотетической функции распре­деления неизвестны, то имеем сложную гипотезу. Пусть веро­ятности зависят от неизвестных параметров , которые можно оценить по данным выборки (обычно методом максимального правдоподобия). Тогда статистика (107) имеет распределение с степенями свободы, а гипотети­ческая функция распределения зависит от неизвестных пара­метров и известен только класс функций. Основная гипотеза заключается в том, что неизвестная функция распределения имеет вид при некоторых значениях параметров , . Выборочный критерий проверки истинности ну­левой гипотезы имеет вид

Если бы истинные значения параметров были известны, мы по­лучили бы случай, рассмотренный выше. Но так как истинные значения не известны, то, подставляя их оценки, найденные методом мак­симального правдоподобия, получаем статистический критерий с меньшим числом степеней свободы, а именно: , где - чис­ло интервалов, на которые разбит весь диапазон наблюдаемых значе­ний; - число параметров гипотетической функции распределения.

Сравнивая наблюдаемое значение критерия скритиче­ским значением по приведенной схеме, делаем заключе­ние об истинности нулевой гипотезы: гипотеза принимается, если и отвергается в противном случае.

Пример 18

4.3. Критерий согласия Колмогорова- Смирнова

Критерий согласия Колмогорова-Смирнова применяется для проверки гипотез только о непрерывных законах распределения. Критерий Колмогорова-Смирнова позволяет производить проверку согласия эмпиричес­кой функции распределения с теоретической. Проверяется справед­ливость гипотезы : в противоположность гипотезе :

Критерий согласия Колмогорова [30] основан на том факте, что рас­пределение супремума разности между теоретической и эмпиричес­кой функциями распределения

₍₁₀₈₎

одинаково для любой . Величину называют статистикой Кол­могорова.

При малых для статистики Колмогорова имеются таблицы критических точек . При больших используют предельное рас­пределение Колмогорова:

Для распределения Колмогорова, предельного для статистики , также существуют таблицы критических точек . Прак­тически их используют уже при .

В [31] показано, что статистика не зависит от вида неизвестной функции распределения.

В общем случае функция распределения может быть и раз­рывной, хотя она имеет разрывы только первого рода, являющиеся скачками. Поэтому выборочную статистику в общем случае опре­деляют с помощью точной верхней границы (sup):

, - статистика Смирнова

, - статистика Колмогорова

при этом .

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Результаты наблюдения представляют в виде интервального ста­тистического (вариационного) ряда.

2. Находят значение эмпирической функции распределения .

3. Пользуясь гипотетической функцией распределения, вычисляют значения теоретической функции распределения, соответ­ствующие наблюдаемым значениям случайной величины .

4. Находят и вычисляют наблюдаемое значение выборочной статистики .

5. По заданному уровню значимости из таблиц квантилей рас­пределения Колмогорова находят критические точки .

6. Сравнивая наблюдаемое значение выборочной статистики с критической точкой принимают одно из двух решений: а) ес­ли , то считается, что для отклонения нулевой гипоте­зы оснований нет, т. е. гипотетическая функция распределения согласуется с опытными данными; б) если , то нулевая гипотеза отклоняется в пользу альтернативной.

Замечание:Критерий Колмогорова, строго говоря, нельзя при­менять в случаях сгруппированных данных при неизвестных парамет­рах распределения. Тем не менее, он иногда применяется на практике и в подобных ситуациях. Однако при этом статистики критерия получа­ются заниженными, что увеличивает ошибку первого рода. В таких слу­чаях предпочтительнее пользоваться критерием хи-квадрат Пирсона.

Пример 19