4.5. Критерий Андерсона-Дарлинга

Андерсон и Дарлинг [36] предложили критерий, использующий нормирование статистики критерия (см. 4.4. Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса) обратным значением теоретической функции распределения.

Статистика Андерсона—Дарлинга имеет вид

или

(117)

Предельное распределение статистики (при ) табулировано в [37, 38, 39]. В таблице 8приведены некоторые квантили предельного распределения (приближение приемлемо при ).

Таблица 8. Квантили предельного распределения статистики

	0,1	0,05	0,025	0,01
	1,94	2,50	3,08	3,88

Сходимость к предельному распределению становится лучше, если использовать вместо статистики ее модифицированную форму [40]

(118)

В [41] предложена модификация статистики Андерсона-Дарлинга в форме

(119)

где - версия критерия для правого (верхнего) «хвоста», версия критерия для левого (нижнего) «хвоста».

Значения и вычисляются по формулам

(120)

(121)

Распределение величины может быть вычислено по формуле [41]

(122)

где - предельное распределение, для которого справедлива аппроксимация

(123)

где

В котором и определяются соотношениями:

; .

Значения могут быть вычислены из условия симметрии. Модифицированный критерий Андерсона—Дарлинга более чувствителен к поведению функции распределения вероятностей на ее хвостах.

Пример 21 Проверить на уровне значимости нормальность распределения выборки : 4, 7, 8, 12, 18, 19, 21, 25, 30 критерием при условии, что (т. е. гипотетическим распределением является нормальное распределение с параметрами и ). Решение Вычисления сводим в таблицу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 7 8 9 12 18 19 21 25 30 -1,2 -0,6 -0,4 -0,2 0,4 1,6 1,8 2,2 3,0 4,0 0,1151 0,2743 0,3446 0,4207 0,6554 0,9452 0,9641 0,9866 0,9986 0,9999 30 25 21 19 18 12 9 8 7 4 4,0 3,0 2,2 1,8 1,6 0,4 -0,2 -0,4 -0,6 -1,2 0,9999 0,9986 0,9866 0,9641 0,9452 0,6554 0,4207 0,3446 0,2743 0,1151 -2,1619 -1,2935 -1,0653 -0,0658 -0,4225 -0,0563 -0,0366 -0,0135 -0,0014 -4 10-5 -10,1266 -6,5713 -4,3125 -3,3210 -2,9041 -1,0653 -0,5459 -0,4225 -0,3206 -0,1223 -12,2885 -27,9716 -26,8890 -29,9394 -29,9394 -12,3376 -7,5725 -6,5400 -5,4740 -2,3245 -161,2765 На основании данных таблицы и формул (117) и (118)имеем ; ; Из таблицы 8 имеем . Так как , нулевая гипотеза нормальности распределения отклоняется.