Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1266 вузов, 4642 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Владимирский государственный университет им. Столетовых
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
2815.doc
Скачиваний:
102
Добавлен:
13.11.2022
Размер:
7.39 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

6.2. Критерий Колмогорова

Пусть и вариационные ряды, составленные из элементов первой и второй выборок со­ответственно. Требуется проверить гипотезу о совпадении законов распределения. Определим эмпирические функции распределения и . Для проверки гипотезы вводятся следующие статистики:

(172)

(173)

(174)

В случае истинности нулевой гипотезы распределения статистик и одинаковы, поэтому рассматривается лишь статистика . Без ограничения общности можно считать, что . Предпо­ложим, что предельные функции и непрерывны и гипотеза верна.

Пусть и . Тогда случайные величины , имеют распределение Колмогорова. Для статистики критической является область больших значений, т. е. ги­потеза об однородности отклоняется, если , где - критическая точка распределения Колмогорова статистики при уровне значимости .

На практике для сокращения объема вычислений величины и можно находить по формулам

(175)

(176)

(177)

Если число выборок и объемы выборок равны , то можно использовать следующее обобщение статистик:

Для практических целей обычно достаточно предельных статистик:

,

где

(178)

(179)

Предельное распределение для статистики в точности совпадаете .

Замечание: При использовании данного критерия не требуется предварительного разбиения на интервалы и группирования.

6.3. Критерий Уилкоксона — Манна — Уитни

Данный критерий осно­ван на подсчете числа инверсий.Для этого обе выборки располагают в виде одного вариационного ряда

Если в этой последовательности заданному предшествует элементов выборки , то имеет место инвер­сий. Общее число инверсий равно сумме инверсий, обра­зуемых всеми элементами первой выборки с элементами второй. Правило проверки гипотезы по критерию Уилькоксона состоит в сравнении общего числа инверсий с поро­говым числом, определяемым заданным уровнем значи­мости.

В [107] показано, что при и с хорошим приближением можно считать распре­деление общего числа инверсий нормальным с параметрами

(180)

(181)

Тогда пороговое значение числа инверсий для заданного уровня значимости а определяется по формуле

(182)

где - процентное отклонение нормальной случайной величины. Если вычисленное по заданным двум выборкам значение превосходит , то гипотеза о том, что эти выборки принадлежат одному и тому же распределению, отклоняется.

7. Подбор кривых распределения вероятностей по экспериментальным данным

Часто инженер или исследователь не имеет достаточных оснований для выбора того или иного закона распределения вероятностей. Его попытка использовать критерии нормальности, экспоненциальности или равномерности распределения случайных величин потерпели неудачу. Что же ему делать? Очевидно, смириться с тем, что он не сможет применить хорошо известные математические модели для описания своих экспериментальных данных, и попытаться найти все-таки модель, которой отвечают его результаты.

Другими словами, ему необходимо подобрать по экспериментальным данным распределение, которое удовлетворительно описывало бы имеющийся экспериментальный материал.

Наибольшее распространение для аппроксимации эмпирических распределений получили кривые Пирсона. Плотность вероятности , график которой принадлежит семейству Пирсона, является решением дифференциального уравнения [108]

Постоянные , , , выражаются через первые четыре момента распределенния (математическое ожидание, дисперсия, коэффициенты асимметрии и эксцесса :

(183)

(184)

(185)

где

(186)

Выбор из семейства кривых Пирсона такой кривой, у которой первые четыре момента совпадают с выборочными моментами, определенными по экспериментальным данным, составляет содержание задачи подбора эмпирической кривой для распределения вероятностей случайной величины.

Тип кривой из семейства Пирсона определяется значением показателя [108]

(187)

На практике различают 7 основных типов кривых Пирсона, которым соответствуют различные значения , а следовательно и . Графики для определения типа кривой Пирсона по значениям и приведены в [37], по показателю - в [108].

Так как достаточно эффективные и стабильные оценки моментов и распределения достигаются при значительных объемах выборок, то анализу подвергаются, как правило, статистические ряды, разбитые на интервалы равной длины , т.е. статистический ряд представляется своей эмпирической гистограммой.

В этом случае границы интервалов разбиения фиксируются, а случайной величиной является количество выборочных значений данных попавших в тот или иной интервал.

Далее для всех кривых Пирсона переменная представлена в виде

где - реальное значение переменной; - мода распределения (значение случайной величины, соответствующее максимуму плотности распределения); - длина интервала, на которые разбит эмпирический статистический ряд.

Напомним порядок вычисления моментов распределения, заданного эмпирической гистограммой. Гистограмма представлена совокупностью пар

, ,…,

где - середина -го интервала разбиения; количество данных, попавших в -й интервал; - количество интервалов разбиения гистограммы.

Первые четыре момента распределения подсчитываютея по формулам

; .

Часто вместо переменной удобнее использовать переменную ,где - условное начало отсчета (как правило, это величина, соответствующая интервалу разбиения с наибольшей частотой ). Тогда .

Дисперсия выражается через начальные моменты формулой . Переход к метрической величине осуществляется по формуле .

Коэффициенты асимметрии и эксцесса выражаются через начальные моменты следующим образом:

(188)

(189)

Легко видеть, что для негруппированного ряда , . Порядок вычисления будет продемонстрирован ниже.

Аппроксимация распределением из семейства Пирсона позволяет подыскать подходящую кривую для описания плотности распределения эмпирических данных, что необходимо для выявления основных характеристик распределения (его ход, симметричность, поведение на хвостах). Однако найти квантиль этого распределения по аналитической формуле плотности распределения - задача непростая.

Эту задачу можно решить без подбора распределения, достаточно найти оценки и и воспользоваться известными таблицами квантилей распределения Пирсона (табл.3) для нормированной переменной (тогда истинная квантиль равна ).

Таблица 21. Значение квантилей

0,00

0,01

0,03

0,05

0,10

0,15

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,00

1,8

1,56

2,0

1,61

1,56

1,51

1,47

2,2

1,64

1,59

1,55

1,46

1,4

1,35

2,4

1,65

1,61

1,58

1,55

1,5

1,45

1,41

1,33

2,6

1,65

1,61

1,59

1,57

1,53

1,49

1,45

1,38

1,3

2,8

1,65

1,62

1,59

1,57

1,54

1,51

1,48

1,42

1,35

1,29

3,0

1,64

1,62

1,59

1,58

1,55

1,52

1,49

1,44

1,39

1,33

1,27

3,2

1,64

1,61

1,59

1,58

1,55

1,53

1,5

1,46

1,42

1,37

1,31

1,25

1,19

3,4

1,64

1,61

1,59

1,58

1,55

1,53

1,51

1,47

1,43

1,39

1,35

1,3

1,24

1,19

3,6

1,63

1,61

1,59

1,58

1,55

1,53

1,52

1,48

1,45

1,41

1,37

1,33

1,28

1,23

1,18

3,8

1,63

1,60

1,59

1,58

1,55

1,54

1,52

1,49

1,46

1,42

1,39

1,35

1,31

1,27

1,23

4,0

1,62

1,60

1,59

1,57

1,55

1,54

1,52

1,49

1,46

1,43

1,40

1,37

1,34

1,3

1,26

4,2

1,62

1,60

1,58

1,57

1,55

1,54

1,52

1,49

1,47

1,44

1,42

1,39

1,36

1,32

1,28

4,4

1,62

1,60

1,58

1,57

1,55

1,54

1,52

1,5

1,47

1,45

1,42

1,4

1,37

1,34

1,31

4,6

1,61

1,59

1,58

1,57

1,55

1,54

1,52

1,5

1,48

1,45

1,43

1,41

1,38

1,35

1,33

4,8

1,61

1,59

1,58

1,57

1,55

1,53

1,52

1,5

1,48

1,46

1,44

1,41

1,39

1,37

1,34

5,0

1,60

1,58

1,57

1,56

1,55

1,53

1,52

1,5

1,48

1,46

1,44

1,42

1,40

1,38

1,35

0,00

0,01

0,03

0,05

0,10

0,15

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,00

1,8

1,56

2,0

1,61

1,66

1,7

1,72

2,2

1,64

1,68

1,71

1,74

1,77

1,8

1,83

2,4

1,65

1,69

1,71

1,74

1,77

1,8

1,83

1,87

2,6

1,65

1,68

1,71

1,73

1,76

1,79

1,81

1,86

1,9

2,8

1,65

1,68

1,7

1,72

1,75

1,77

1,8

1,84

1,88

1,92

3,0

1,64

1,67

1,69

1,71

1,74

1,76

1,78

1,82

1,86

1,9

1,93

3,2

1,64

1,67

1,69

1,7

1,73

1,75

1,77

1,8

1,84

1,87

1,91

1,94

1,98

3,4

1,64

1,66

1,68

1,69

1,72

1,74

1,76

1,79

1,82

1,85

1,88

1,92

1,95

1,98

3,6

1,63

1,65

1,67

1,68

1,71

1,63

1,74

1,77

1,8

1,83

1,86

1,89

1,92

1,95

1,98

3,8

1,63

1,65

1,66

1,68

1,7

1,72

1,73

1,76

1,79

1,82

1,84

1,87

1,9

1,93

1,96

4,0

1,62

1,64

1,66

1,67

1,69

1,71

1,72

1,75

1,78

1,8

1,83

1,85

1,88

1,9

1,93

4,2

1,62

1,64

1,65

1,66

1,68

1,7

1,71

1,74

1,76

1,79

1,82

1,83

1,86

1,88

1,91

4,4

1,62

1,63

1,65

1,66

1,68

1,69

1,7

1,73

1,75

1,78

1,8

1,82

1,84

1,86

1,89

4,6

1,61

1,63

1,64

1,65

1,67

1,68

1,7

1,72

1,74

1,76

1,78

1,8

1,82

1,84

1,85

4,8

1,61

1,62

1,64

1,65

1,66

1,68

1,69

1,71

1,73

1,75

1,77

1,79

1,81

1,83

1,85

5,0

1,60

1,62

1,63

1,64

1,66

1,67

1,68

1,71

1,73

1,74

1,76

1,78

1,8

1,82

1,84

0,00

0,01

0,03

0,05

0,10

0,15

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,00

1,8

1,65

2,0

1,76

1,68

1,62

1,56

2,2

1,83

1,76

1,71

1,66

1,57

1,49

1,41

2,4

1,88

1,82

1,77

1,73

1,65

1,58

1,51

1,39

2,6

1,92

1,86

1,82

1,78

1,71

1,64

1,58

1,47

1,37

2,8

1,94

1,89

1,85

1,82

1,76

1,70

1,65

1,55

1,45

1,35

3,0

1,96

1,91

1,87

1,84

1,79

1,74

1,69

1,60

1,52

1,42

1,33

3,2

1,97

1,93

1,89

1,86

1,81

1,77

1,72

1,65

1,57

1,49

1,40

1,32

1,24

3,4

1,98

1,94

1,90

1,88

1,83

1,79

1,75

1,68

1,61

1,54

1,46

1,39

1,31

1,23

3,6

1,99

1,95

1,91

1,89

1,85

1,81

1,77

1,71

1,65

1,58

1,51

1,44

1,38

1,30

1,23

3,8

1,99

1,95

1,92

1,90

1,86

1,82

1,79

1,73

1,67

1,62

1,56

1,49

1,43

1,36

1,29

4,0

1,99

1,96

1,93

1,91

1,87

1,84

1,81

1,75

1,70

1,64

1,59

1,53

1,47

1,41

1,35

Продолжение табл.21

4,2

2,00

1,96

1,93

1,91

1,88

1,84

1,82

1,76

1,72

1,67

1,62

1,56

1,51

1,45

1,40

4,4

2,00

1,96

1,94

1,92

1,88

1,85

1,83

1,78

1,73

1,69

1,64

1,59

1,54

1,49

1,44

4,6

2,00

1,96

1,94

1,92

1,89

1,86

1,83

1,79

1,75

1,70

1,66

1,62

1,57

1,52

1,47

4,8

2,00

1,97

1,94

1,93

1,89

1,87

134

1,80

1,76

1,72

1,68

1,64

1,59

1,55

1,50

5,0

2,00

1,97

1,94

1,93

1,90

1,87

1,85

1,81

1,77

1,73

1,69

1,65

1,61

1,57

1,53

0,00

0,01

0,03

0,05

0,10

0,15

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,00

1,8

1,65

2,0

1,76

1,82

1,86

1,89

2,2

1,83

1,89

1,93

1,96

2,00

2,04

2,06

2,4

1,88

1,94

1,98

2,01

2,05

2,08

2,11

2,25

2,6

1,92

1,97

2,01

2,03

2,08

2,11

2,14

2,18

2,22

2,8

1,94

1,99

2,03

2,05

2,09

2,13

2,15

2,20

2,24

2,27

3,0

1,96

2,01

2,04

2,06

2,10

2,13

2,16

2,21

2,25

2,28

2,32

3,2

1,97

2,02

2,05

2,07

2,11

2,14

2,16

2,31

2,25

2,29

2,32

2,35

2,38

3,4

1,98

2,02

2,05

2,07

2,11

2,14

2,16

2,21

2,25

2,28

2,32

2,35

2,38

2,41

3,6

1,99

2,02

2,05

2,07

2,11

2,14

2,16

2,20

2,24

2,28

2,31

2,34

2,37

2,41

2,44

3,8

1,99

2,03

2,05

2,07

2,11

2,13

2,16

2,20

2,24

2,27

2,30

2,33

2,36

2,40

2,43

4,0

2,00

2,03

2,05

2,07

2,11

2,13

2,15

2,19

2,23

2,26

2,29

2,32

2,35

2,38

2,41

4,2

2,00

2,03

2,05

2,07

2,10

2,13

2,15

2,19

2,22

2,25

2,28

2,31

2,34

2,37

2,40

4,4

2,00

2,03

2,05

2,07

2,10

2,13

2,15

2,18

2,22

2,25

2,28

2,31

2,33

2,36

2,39

4,6

2,00

2,03

2,05

2,07

2,10

2,12

2,14

2,18

2,21

2,24

2,27

2,30

2,32

2,35

2,38

4,8

2,00

2,03

2,05

2,07

2,10

2,12

2,14

2,17

2,21

2,23

2,26

2,29

2,31

2,33

2,36

5,0

2,00

2,03

2,05

2,07

2,09

2,12

2,14

2,17

2,2

2,23

2,25

2,28

2,30

2,33

2,35

0,00

0,01

0,03

0,05

0,10

0,15

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,00

1,8

1,70

2,0

1,87

1,77

1,60

1,62

2,2

2,01

1,91

1,83

1,76

1,64

1,55

1,45

2,4

2,2

2,03

1,95

1,89

1,77

1,68

1,59

1,43

2,6

2,21

2,12

2,05

1,99

1,88

1,79

1,70

1,55

1,41

2,8

2,27

2,19

2,1З

2,08

1,98

1 89

1,81

1,66

1,52

1,39

3,0

2,33

2,25

2,19

2,14

2,05

1,97

1,90

1,76

1,62

1,50

1,38

3,2

2,37

2,29

2,24

2,19

2,11

2,03

1,96

1,84

1,71

1,59

1,48

1,37

1,26

3,4

2,40

2,33

2,28

2,24

2,16

2,09

2,02

1,90

1,79

1,68

1,57

1,46

1,36

1,26

3,6

2,43

2,36

2,31

2,27

2,20

2,13

2,07

1,96

1,86

1,76

1,65

1,55

1,45

1,35

1,26

3,8

2,45

2,39

2,34

2,30

2,23

2,17

2,11

2,01

1,91

1,82

1,72

1,62

1,53

1,43

1,34

4,0

2,47

2,41

2,36

2,33

2,26

2,20

2,15

2,05

1,96

1,87

1,78

1,69

1,60

1,51

1,42

4,2

2,19

2,43

2,38

2,35

2,28

2,23

2,18

2,09

2,00

1,92

1,83

1,75

1,66

1,58

1,49

4,4

2,50

2,44

2,40

2,37

2,31

2,25

2,21

2,12

2,04

1,96

1,88

1,80

1,72

1,64

1,56

4,6

2,51

2,46

2,42

2,38

2,32

2,27

2,23

2,15

2,07

2,00

1,92

1,80

1,77

1,70

1,62

4,8

2,52

2,47

2,43

2,40

2,34

2,29

2,25

2,17

2,03

2,03

1,96

1,88

1,81

1,74

1,67

5,0

2,53

2,48

2,44

2,41

2,36

2,31

2,27

2,19

2,12

2,06

1,99

1,92

1,85

1,79

1,72

0,00

0,01

0,03

0,05

0,10

0,15

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,00

1,8

1,7

2,0

1,87

1,95

2,00

2,03

2,2

2,01

2,10

2,15

2,18

2,22

2,24

2,25

2,4

2,12

2,20

2,25

2,28

2,33

2,30

2,38

2,40

2,6

2,21

2,28

2,33

2,36

2,42

2,45

2,48

2,51

2,52

2,8

2,27

2,34

2,39

2,43

2,48

2,52

2,55

2,59

2,61

2,63

3,0

2,33

2,40

2,44

2,48

2,53

2,56

2,59

2,64

2,68

2,70

2,71

3,2

2,37

2,44

2,48

2,51

2,56

2,60

2,03

2,08

2,72

2,75

2,77

2,79

2,80

Окончание табл.21

3,4

2,40

2,47

2,51

2,54

2,59

2,63

2,66

2,71

2,75

2,79

2,82

2,84

2,86

2,87

3,6

2,43

2,49

2,53

2,56

2,61

2,65

2,08

2,74

2,78

2,81

2,85

2,87

2,90

2,91

2,93

3,8

2,45

2,51

2,55

2,58

2,63

2,67

2,70

2,75

2,80

2,83

2,87

2,90

2,92

2,95

2,97

4,0

2,47

2,53

2,57

2,60

2,65

2,68

2,73

2,77

2,81

2,85

2,88

2,91

2,94

2,97

2,99

4,2

2,49

2,54

2,58

2,01

2,66

2,09

2,73

2,78

2,82

2,8l

2,89

2,92

2,95

2,99

3,01

4,4

2,50

2,56

2,59

2,62

2,67

2,70

2,73

2,78

2,83

2,86

2,90

2,93

2,96

2,99

3,02

4,6

2,51

2,57

2,60

2,63

2,68

2,71

2,74

2,79

2,83

2,87

2,90

2,94

2,97

3,00

3,03

4,8

2,52

2,58

2,61

2,64

2,68

2,72

2,75

2,80

2,84

2,87

2,91

2,94

2,97

3,00

3,03

5,0

2,53

2,58

2,02

2,64

2,69

2,72

275

2,80

2,84

2,88

2,91

2,95

2,97

3,00

3,03

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности