7.1. Кривые Пирсона типа I
Для
кривых этого семейства
.
Уравнение кривой имеет вид
(190)
где
(191)
(192)
(193)
(194)
(195)
(196)
(197)
-
объем выборки;
-
длина интервала разбиения;
- размах кривой;
-модальное
значение;
- именованное значение среднеквадратического
отклонения.
Для
вычисления гамма-функции
приведем ряд полезных соотношений:
Очень полезна аппроксимация
при
ошибка не превышает 0,2%.
В
общем случае вычисление гамма-функции
по любому аргументу можно производить
по формуле (
,
-
целая часть числа)
Например,
вычислим значение
:
Кривая
Пирсона типа I представляет собой
бета-распределение, поэтому ее функция
распределения
может быть выражена через функцию
бета-распределения
Пример 35
В
результате наблюдений получен
статистический ряд, заданный таблицей
( Сначала найдем моменты распределения. В нашем случае все эмпирические данные разбиты на 13 интервалов длиной с = 5 каждый. В качестве случайной величины будем рассматривать
середину каждого интервала. Порядок
вычислений представлен в таблице
(здесь Таким образом, имеем
Далее вычисляем
Тогда
Имеем
Так
как Пирсона типа 1. Выполняем необходимые вычисления:
Таким образом, уравнение для аппроксимирующей плотности распределения имеет вид
Напомним, что в качестве переменной мы используем
Относительно реальной переменной уравнение принимает вид
Например,
для
что совпадает с эмпирической частотой, равной 101.
Для
нахождения 95%-й квантили распределения
обратимся к табл. 21. Для
Следовательно,
вероятность того, что |
,
).
Необходимо подобрать аппроксимирующую
кривую распределения Пирсона и найти
95%-ю квантиль распределения.
).
;
;
;
.
,
можно применить аппроксимацию
эмпирического распределения кривой
частота
равна
,
и
находим,
что
.
Следовательно,
;
,
равна 0.95.