2. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы

Пример 1:

передача сообщений при наличии помех

Система связи состоит из источника, производящего два сообщения: «да» и «нет», которые преобразуются соответст­венно в сигналы «1» и «0», канала с помехами, которые могут преобразовывать сигнал «1» в сигнал ,«0» или «0» в «1», и приемного устройства, воспроизводящего сигналы в не­искаженном или искаженном виде. Оператор, наблюдающий сигнал на выходе приемного устройства, должен расшифро­вать передачу, т. е. определить по принятому сигналу пере­данное сообщение.

Если бы сигналы всегда передавались без искажений, то можно было бы по принятому сигналу дать безошибочный ответ на вопрос, какое сообщение было послано. Например, по сигналу «1» всегда узнавалось бы сообщение «да». Иначе говоря, апостериорная вероятность сообщения «да» при условии, что принят сигнал «1», равнялась бы единице. Вследствие искажений помехами принятый сигнал не всегда будет достоверно указывать на то, какое сообщение было передано, т. е. будут случаи, когда принимается сигнал «1» при передаче сообщения «нет», а сигнал «0» — при передаче сообщения «да». Возникает необходимость дать оператору заранее правило поведения в указанной неопределенной ситуации, не полагаясь на его интуицию и субъективные суждения.

Рассмотренный простейший пример содержит все эле­менты постановки проблемы. Сообще­ния «нет» и «да» представляют два взаимонесовместимых состояния передатчика и . Априорные вероятности этих состояний , опреде­ляют статистическую структуру источника сообщений, т. е. указывают, какой процент в длинной последовательно­сти сообщений составляют сообщения «нет» и какой про­цент — сообщения «да». Возможными результатами наблю­дений являются сигналы «1» и «0». Условные вероятности этих сигналов , определяются вероятностными свойствами помех в канале. Величины , представ­ляют вероятности того, что сигналы «0» и «1» не искажаются помехами, а , — вероятности искажении двух видов: перехода «0» в «1» и «1» в «0». Набор решений в этом случае состоит из (передано сообщение «нет») и (передано сообщение «да»), а правило решения пред­писывает оператору, какое из этих двух решений он должен выбирать, когда наблюдает сигнал «1» или сигнал «0». Функция потерь в рассматриваемом примере должна учиты­вать последствия ошибочных решений оператора и назна­чать «плату» за ошибку первого рода (принятие решения, что было передано сообщение «да», когда в дейст­вительности передавалось «нет») и «плату» за ошиб­ку второго рода (принятие решения, что было передано сообщение «нет», когда в действительности передавалось «да»).

Критерием качества выбора решения может служить среднее значение потерь из-за ошибочных решений, взве­шенное с вероятностями их появления. Таким образом, согласно этому критерию выбирается из двух возможных правил выбора решения то, для которого величина сред­него значения потерь меньше. Подсчитаем величины сред­них потерь для двух правил выбора каждого из возможных решений.

Одно правило может быть сформулировано так: наблюдаешь сигнал «0»— принимай решение (и, следова­тельно, когда наблюдаешь сигнал «1»— принимай реше­ние ). В этом случае вероятности ошибочных решений равны

Р {ошибка 1-го рода} = ,

Р {ошибка 2-го рода} = ,

и среднее значение потерь

(14)

Другое правило формулируется так: наблюдаешь сигнал «0»— принимай решение (и, следовательно, когда наблюдаешь сигнал «1»— принимай решение ). В этом случае вероятности ошибочных решений равны

Р {ошибка 1-го рода} = ,

Р {ошибка 2-го рода} = ,

и среднее значение потерь

(15)

Принятый критерий качества отдает предпочтение пра­вилу , если т. е. когда

(16)

Так как , то из и при­ходим к следующему условию, при выполнении которого принимается правило :

(17)

Формула (17) помимо условных вероятностей ошибок, определяемых вероятностными характеристиками помех в канале, содержит априорные вероятности сообщений и величины потерь. Определение или назначение величин , , в конкретных ситуациях может представлять значительные трудности. Это обстоятельство является сла­бым местом и в общей постановке проблемы. Когда нет никаких оснований для того, чтобы ошибку первого рода считать более или менее существенной, чем ошибку второго рода, то полагают потери , одинаковыми, и тогда величины средних потерь просто пропорциональны вероятности ошибки любого рода. Кри­терий наименьших средних потерь в этом случае переходит в критерий наименьшей частоты ошибок. Когда ничего «неизвестно» о статистической структуре источника сооб­щений, то остается предположить, что сообщения «да» и «нет» передаются с равными вероятностями, т. е. .

Если , , то условие (17) стано­вится особенно простым:

или

(18)

Условие (18) означает, что вероятность искажения сигна­ла «0» меньше вероятности правильного воспроизведения сигнала «1» (иначе, вероятность появления ложного сигна­ла «1» меньше вероятности неподавления истинного сигна­ла «1»). Средние потери в этом случае , в то время как для правила при условии (18) средние потери ¹).