- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6.2. Декартова прямоугольная система координат
Реальное пространство, которое мы будем изучать, называется трехмерным R3. Каждая точка в нем определяется тройкой действительных чисел. Плоскость – R2.
Декартова прямоугольная система координат представляет собой три взаимно перпендикулярные оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей:
ось Оx – ось абсцисс;
ось Оy – ось ординат;
ось Оz – ось аппликат.
Направление осей координат можно задать единичными векторами (ортами) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Возьмем произвольную точку М. Вектор EMBED Equation.3 называется радиус-вектором точки М: EMBED Equation.3 . Радиус-вектор, в свою очередь, определяет некоторый вектор EMBED Equation.3 , который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Найдем проекции вектора EMBED Equation.3 на оси координат: очевидно, что
EMBED Equation.3
Такая картинка называется разложением вектора EMBED Equation.3 по трем координатным осям. Проекции радиус вектора EMBED Equation.3 на координатные оси обозначим через x, y, z.
Координатами точки М в пространстве называются проекции вектора EMBED Equation.3 на соответствующие координатные оси: M(x, y, z).
EMBED Equation.3
Пользуясь свойствами проекций, с помощью единичных векторов EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 можно записать: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Тогда
EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 . (6.1)
Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.
Таким образом, три числа x, y, z, с одной стороны, являются координатами точки М, с другой – координатами радиус-вектора этой точки. Равенство (6.1) – основное равенство векторной алгебры. Его называют разложением вектора EMBED Equation.3 по координатным осям (по базису EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ).
Система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками упорядоченных чисел (или радиус-векторами).
Обозначим EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - углы наклона вектора EMBED Equation.3 к осям Ox, Oy, Oz.Числа EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 принято называть направляющими косинусами вектора EMBED Equation.3 .
Из определения проекций пол4учим
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 (6.2
EMBED Equation.DSMT4 Учитывая, что EMBED Equation.3 - диагональ прямоугольного параллелепипеда, имеем определение длины вектора через его координаты
EMBED Equation.3 (6.3)
EMBED Equation.DSMT4 (6.4)
Из системы (7.4) следует, что сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1
EMBED Equation.3 Вектор однозначно определяется заданием его длины и
трех направляющих косинусов.