2.3. Однородные системы

Однородной называется система вида

(2.5)

Очевидно, что всякая однородная система имеет решение

x= 0, y=0, z= 0, называемое нулевым Теорема Крамера изменится:

1) если , система однородных линейных уравнений (2.5) имеет только нулевое решение;

2) если , система имеет бесчисленное множество решений;

Запишем эти решения. Пусть Перепишем систему уравнений

И решим ее по формулам Крамера

.

Переменная может быть выбрана произвольно, а две другие переменные находятся по полученным формулам. Система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 2.2. Решить систему уравнений

Определитель системы равен нулю. Система имеет бесчисленное множество решений. Перепишем систему

Решим полученную систему по формулам Крамера.

Придавая z различные значения, получим бесчисленное множество решений.

2.4. Действия над матрицами

1. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Представим это в сокращенной записи. Пусть

А= , В = ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Тогда сумма этих матриц С = А + В имеет вид

С= , i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер. Операция суммирования матриц обладает следующими свойствами

1.

А+В=В+А.

2. (А+В)+С=А+(В+С).

3. А+О=А, где О – нулевая матрица.

Пример 2.3. Пусть даны матрицы А и В:

А = , В = .

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

С = , С= .

2. Произведением матрицы А на число называется матрица В= А, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на §: _{EMBED Equation.3}

Пусть А, В, С – матрицы, имеющие одинаковый размер, а EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - некоторые вещественные числа. Тогда:

1. EMBED Equation.3

2. EMBED Equation.3

3. EMBED Equation.3

4.ОА=О, где О – нулевая матрица.

Пример 2.4. Пусть даны матрица А и число EMBED Equation.3 :

А = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 =2.

Тогда произведением матрицы А на число EMBED Equation.3 является матрица

С = EMBED Equation.3 .

3.Произведением АВ двух квадратных матриц А и В одного порядка называется третья квадратная матрица С того же порядка, составленная по следующему правилу: элемент EMBED Equation.3 , стоящий в матрице С на пересечении k-й строки с l-м столбцом, есть сумма произведений элементов EMBED Equation.3 строки матрицы А на соответствующие элементы l-го столбца матрицы В:

EMBED Equation.3 . (2.6)

Определение произведения можно распространить на неквадратные матрицы, у которых число столбцов матрицы множимого А равно числу строк матрицы множителя EMBED Equation.3 . При соблюдении этого условия множимого А может иметь любое число (m) строк, а матрица В – любое число (n) столбцов. Матрица С = АВ будет иметь m строк и n столбцов, ее элементы вычисляются по формуле (2.6).

Пример 2.5. Найти произведения АВ и ВА матриц

А = EMBED Equation.3 , В = EMBED Equation.3

Решение. По формуле (2.6) получаем элементы

матрицы АВ:

_{EMBED Equation.3} EMBED Equation.3

_{EMBED Equation.3 EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3 EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3} EMBED Equation.3

_{EMBED Equation.3}

Итак,

АВ = EMBED Equation.3 ;

По формуле (2.6) получаем элементы матрицы ВА:

_{EMBED Equation.3 EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3 EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3 EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3 EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3}

Итак, ВА= EMBED Equation.3 .

Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, заключаем, что EMBED Equation.3 .

Пример 2.6. Найти произведения АВ матриц

А = EMBED Equation.3 , В = EMBED Equation.3 .

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы EMBED Equation.3 , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу EMBED Equation.3 . По формуле (2.6) находим:

_{EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3}

Следовательно:

АВ = EMBED Equation.3 .

Пусть А, В и С – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведение матриц были определены), а EMBED Equation.3 - действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:

1. АВ EMBED Equation.3 ВА

2. (АВ)С = А(ВС).

3. (А + В)С = АС + ВС.

4. А(В + С) = АВ + АС.

5. EMBED Equation.3 (АВ) = ( EMBED Equation.3 А)В = А( EMBED Equation.3 В).

Нетрудно убедиться, что в алгебре квадратных матриц единичная матрица EMBED Equation.3 играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:

6. АЕ = А.

7. ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.