Вопросы для самопроверки

1. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?

2. Какая матрица называется обратной для данной матрицы?

3. Какие матрицы имеют обратные?

4. Как можно найти обратную матрицу?

5. В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?

Задачи для самостоятельного решения

1. Дана матрица А. Найти обратную матрицу.

1) EMBED Equation.3 ; 2) EMBED Equation.3

3) EMBED Equation.DSMT4 .

2. Определить ранг матрицы:

1) EMBED Equation.DSMT4 . 2) EMBED Equation.DSMT4 3) EMBED Equation.DSMT4 .

3. Определить ранг матрицы и найти базисные миноры.

1) EMBED Equation.DSMT4 ; 2) EMBED Equation.DSMT4

Ответы: 1. 1) EMBED Equation.3

2) EMBED Equation.3

3) EMBED Equation.DSMT4 .

2. 1) r(A) =2; 2) r(A) =3; 3) r(A) =3.

3. 1) r(A) =2; базисными минорами являются

EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,

EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 /

EMBED Equation.DSMT4 2) r(A) =3; базисными минорами являются

EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 .

Занятие 4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Формулы Крамера просты по своей записи, но при больших n они приводят к громоздким вычислениям. Кроме того, они, в основном, используются, когда число уравнений равно числу неизвестных и EMBED Equation.3 .

При решении систем, содержащих более трех уравнений, гораздо удобнее использовать метод последовательного исключения переменных (метод Гаусса). Пусть дана система:

EMBED Equation.3 (4.1)

Элементарными преобразованиями системы называются следующие операции:

1. умножение обеих частей одного из уравнений системы на произвольное число EMBED Equation.3 .

2. прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения, умноженного на число EMBED Equation.3 .

3. перестановки уравнений в системе.

Очевидно, что в результате каждой из этих операций система (4.10) перейдет в систему, эквивалентную исходной.

Выпишем матрицу системы (4.1):

EMBED Equation.3

Если в системе (4.1) выполнено преобразование (2), то получим новую систему с матрицей В^|, причем В^| получается из В следующим образом: к некоторой строке матрицы В прибавляется другая строка, умноженная на λ; и т.д..

Поэтому вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, пишут соответствующую ей матрицу В. При этом возможны следующие случаи:

1. Система преобразуется к «треугольному виду», тогда она имеет единственное решение.

2. В преобразованной системе число уравнений может оказаться меньше числа переменных. Такая система преобразуется к «трапецевидной» форме. Система (4.1) имеет бесчисленное множество решений.

3. В ходе исключения получается противоречивое уравнение. Тогда система (4.1) несовместна.

Пример 4.1. Решить систему уравнений:

_{EMBED Equation.3}

Решение. Расширенная матрица системы

EMBED Equation.3 ~

Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и складываем со 2-й строкой. Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-2) и складываем с 3-й строкой. Получаем:

EMBED Equation.3 ~ Умножаем каждый элемент 2-й строки на ( EMBED Equation.3 ) и складываем с 3-й строкой. Получаем:

~ EMBED Equation.3 .

Матрица привелась к «треугольному» виду. Система имеет единственное решение. Вернемся к системе уравнений.

_{EMBED Equation.3}

Из последнего уравнения получим z = 1. Подставим найденное значение во второе уравнение, найдем y=1 , а затем в первое. Таким образом, поднимаясь по системе от последнего уравнения к первому, найдем ее решение.

Решение системы: z = 1; y=1; x=1.

Пример 4.2. Решить систему уравнений:

_{EMBED Equation.3}

Решение. Расширенная матрица системы

EMBED Equation.3 ~ Умножаем каждый элемент 1-й

строки на(-3) и на (-4) и сложим со второй и третьей строкой соответственно. Получим :

~ EMBED Equation.3 ~ Умножаем каждый элемент 2-й

строки на(-1) и сложим с 3-й. Получим :

~ EMBED Equation.3 .

Третье уравнение системы противоречиво. С другой стороны,

ранг матрицы системы r(A)=2, ранг расширенной матрицы r(A/B)=3, r(A)≠r(A/B), следовательно, система несовместна.

Пример 4.3. Решить систему уравнений:

_{EMBED Equation.3}

Решение. Расширенная матрица системы

_{EMBED Equation.3} ~ EMBED Equation.3 ~ EMBED Equation.3 ~ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,

Матрица привелась к «трапецевидной» форме

r(A)=2; r(A/B)= 2 => система совместна и имеет бесчисленное множество решений. Тогда

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Пусть z = t, t- любое число, тогда x =1, y = -t, z = t , t – любое число.

Однородная система имеет либо единственное тривиальное решение, т.е. x = y = z = 0, если EMBED Equation.3 ≠0 и ранг матрицы равен числу неизвестных, причем число неизвестных равно числу уравнений, либо имеет бесчисленное множество решений в противном случае.