11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями.

А₁х + В₁у + С₁z +D₁ = 0

А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0

Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла между их нормальными векторами

_{EMBED Equation.3} EMBED Equation.3 . (Две пересекающиеся плоскости образуют два угла, в сумме равные p. Нам достаточно определить один из углов).

Тогда ,используя формулу для косинуса угла между векторами, имеем

_{EMBED Equation.3} (11.3)

-угол между двумя плоскостями.

Условие параллельности плоскостей эквивалентно условию коллинеарности векторов EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 имеет вид :

_{EMBED Equation.3} (11.4)

и заключается в пропорциональности координат этих векторов. Если EMBED Equation.3 , то плоскости совпадают.

Условие перпендикулярности плоскостей вытекает из формулы (2.3), когда cosj = 0 или ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) = 0, т.е.

EMBED Equation.3 . (11.5)

Пример 11.1. Определить отрезки, отсекаемые плоскостью EMBED Equation.3 на осях координат.

Решение. Переписав уравнение в виде EMBED Equation.3 ,

и, разделив обе части его на 4, получим

EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 .

Получили уравнение плоскости в отрезках. Откуда EMBED Equation.3 - отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат EMBED Equation.3 , соответственно.

Пример 11.2.. Из точки Р (2; 3; —5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Решение. Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, будут следующие точки: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Запишем уравнение плоскости, проходящей через точки EMBED Equation.3 , для чего воспользуемся уравнением

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =0,

находим

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =0 или 15x+10y-6z-60=0.

Пример 11.3. Определить, при каких значениях l и m следующие уравнения будут определять параллельные плоскости.

2x+ ly+3z -5=0, mx-6y - 6z +2=0.

Решение. Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы также параллельны.

Имеем. EMBED Equation.DSMT4 . Из условия параллельности векторов находим

EMBED Equation.DSMT4 . Следовательно, l =3, m = - 4.

Пример 11.4. Определить, при каком значении l следующие уравнения будут определять перпендикулярные плоскости.

3x - 5y+ lz -3=0, x + 3y+ 2z +5=0.

Решение. Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы также перпендикулярны.

Имеем. EMBED Equation.DSMT4 . Векторы будут перпендикулярны, если EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 Откуда l =6.

Пример 11.5. Определить, двугранный угол, образованный пересечением плоскостей:

6x + 3y - 2z =0, x + 2y+ 6z - 12=0.

Решение. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами.

Имеем. EMBED Equation.DSMT4 .

Воспользуемся формулой (2.3)

_{EMBED Equation.3}

_{Следовательно, искомый угол π / 2}

.Вопросы для самопроверки

1. Как записывается уравнение плоскости в отрезках?

2. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?

3. Как вычисляется угол между двумя плоскостями?

4. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей?