2. Векторная алгебра
Задание 1.. Написать разложение вектора x по векторам p, q, r. Координаты векторов приведены к таблице.
№№ |
х. |
p |
q |
r |
1.1. |
{-2, 4, 7} |
{0, 1, 2} |
{l, 0, 1} |
{-l, 2, 4} |
1.2. |
{6, 12, - 1} |
{l, 3, 0} |
{2, -1, 1} |
{0, -1, 2} |
1.3. |
{l, -4, 4} |
{2, 1, -1} |
{0, 3, 2} |
{l, -1, 1} |
1.4. |
{-9, 5, 5} |
{4, 1, 1} |
{2, 0, -3} |
{-l, 2, 1} |
1.5. |
{-5, -5, 5} |
{-2, 0, 1} |
{l, 3, -1} |
{0, 4, 1} |
1.6. |
{13, 2, 7} |
{5, 1, 0} |
{2, -1, 3} |
{l, 0, -1} |
1.7. |
{-19, -1, 7} |
{0, 1, 1} |
{-2, 0, 1} |
{3, 1, 0} |
1.8. |
{3, -3, 4} |
{l, 0, 2} |
{0, 1, 1} |
{2, -1, 4} |
1.9. |
{3, 3, -1} |
{3, 1, 0} |
{-l, 2, 1} |
{-l, 0, 2} |
1.10. |
{-1, 7, -4} |
{-l, 2, 1} |
{2, 0, 3} |
{l, 1, -1} |
1.11. |
{6, 5,-14} |
{l, 1, 4} |
{0, -3, 2} |
{2, 1, -1} |
1.12. |
{6, -1, 7} |
{l. –2, 0} |
{-l, 1, 3} |
{l, 0, 4} |
1.13. |
{5, 15, 0} |
{l, 0, 5} |
{-l, 3, 2} |
{0, -1, 1} |
1.14. |
{2, -1, 11} |
{l, 1, 0} |
{0, 1, -2} |
{l, 0, 3} |
1.15. |
{11, 5, -3} |
{l, 0, 2} |
{-l, 0, 1} |
{2, 5, -3} |
1.16. |
{8, 0, 5} |
{2, 0, 1} |
{l, 1, 0} |
{4, 1, 2} |
1.17. |
{3, 1, 8} |
{0, 1, 3} |
{l, 2, -1} |
{2, 0, -1} |
1.18. |
{8, 1, 12} |
{l, 2, -1} |
{3, 0, 2} |
{-l, 1, 1} |
1.19. |
{-9, -8, -3} |
{l, 4, 1} |
{-3, 2, 0} |
{l, -1, 2} |
1.20. |
{-5, 9, -13} |
{0, 1, -2} |
{3, -1, 1} |
{4, 1, 0} |
1.21. |
{-15, 5, 6} |
{0, 5, 1} |
{3, 2, -1} |
{-l, 1, 0} |
1.22. |
{8, 9, 4} |
{l, 0, 1} |
{0, -2, 1} |
{l, 3, 0} |
1.23. |
{23,-14,-30} |
{2, 1, 0} |
{l, -1, 0} |
{-3, 2, 5} |
1.24. |
{3, 1, 3} |
{2, 1, 0} |
{l, 0, 1} |
{4, 2, 1} |
1.25. |
{-l, 7, 0} |
{0, 3, 1} |
{l, -1, 2} |
{2, -1, 0} |
1.26. |
{11, -1, 4} |
{l,-l, 2} |
{3, 2, 0} |
{-l, 1, 1} |
1.27. |
{-13, 2, 18} |
{l, 1, 4} |
{-3, 0, 2} |
{l, 2, -1} |
1.28. |
{0, -8, 9} |
{0, -2, 1} |
{3, 1, -1} |
{4, 0, 1} |
1.29. |
{8, -7, -13} |
{0, 1, 5} |
{3, -1, 2} |
{-l, 0, 1} |
1.30. |
{2, 7, 5} |
{l, 0, 1} |
{l, -2, 0} |
{0, 3, 1} |
Задание 2. Коллинеарны ли векторы с1 и с2, построенные по векторам a и b?
2.1. a={1,-2,3}, b={3,0,-1}, c1=2a+4b, c2=3b-a.
2.2. a={1,0,1}, b={-2,3,5}, c1=a+2b, c2=3a-b.
2.3. a={-2,4,1}, b={1,-2,7}, c1=5a+3b, c2=2a-b.
2.4. a={1,2,-3}, b={2,-1,-1}, c1=4a+3b, c2=8a-b.
2.5. a={3,5,4}, b={5,9,7}, c1=-2a+b, c2=3a-2b.
2.6. a={1,4,-2}, b={1,1,-1}, c1=a+b, c2=4a+2b.
2.7. a={1,-2,5}, b={3,-1,0}, c1=4a-2b, c2= b-2a.
2.8. a={3,4,-1}, b={2,-1,1}, c1=6a-3b, c2=b-2a.
2.9. a={-2,-3,-2} b={1,0,5}, c1=3a+9b, c2=3b-6a.
2.10. a={-1,4,2}, b={3,-2,6}, c1=2a-b, c2=3b-6a.
2.11. a={5,0,-1}, b={7,2,3}, c1=2a-b, c2=3b-6a.
2.12. a={0,3,-2}, b={1,-2,1}, c1=5a-2b, c2=3a+5b.
2.13. a={-2,7,-1}, b={-3,5,2}, c1=2a+3b, c2=3a+2b.
2.14. a={3,7,0}, b={1,-3,4}, c1=4a-2b, c2=b-2a.
2.15. a={-1,2,-1}, b={2,-7,1}, c1=6a-2b, c2=b-3a.
2.16. a={7,9,-2}, b={5,4,3}, c1=4a-b, c2=4b-a.
2.17. a={5,0,-2}, b={6,4,3}, c1=5a-3b, c2=6b-10a.
2.18. a={8,3,-1}, b={4,1,3}, c1=2a-b, c2=2b-4a.
2.19. a={3,-1 6}, b={5,7,10}, c1=4a-2b, c2=b-2a.
2.20. a={1,-2,4}, b={7,3,5}, c1=6a-3b, c2=b-2a.
2.21. a={3,7,0}, b={4,6,-1}, c1=3a+2b, c2=5a-7b.
2.22. a {2,-1,4}, b={3,-7,-6}, c1=2a-3b, c2=3a-2b.
2.23. a={5,-1,-2}, b={6,0,7}, c1=3a-2b, c2=4b-6a.
2.24. a={-9,5,3}, b={7,1,-2}, c1=2a-b, c2=3a+5b.
2.25. a={4,2,9}, b={0,-1,3}, c1=4b-3a, c2=4a-3b.
2.26. a={2,-1,6}, b={-1,3,8}, c1=5a-2b, c2=2a-5b.
2.27. a={5,0,8}, b={-3,1,7}, c1=3a-4b, c2=12b-9a.
2.28. a={-1,3,4}, b={2,-1,0}, c1=6a-2b, c2=b-3a.
2.29. a{4,2,-7}, b={5,0,-3}, c1=a-3b, c2=6b-2a.
2.30. a={2,0,-5}, b={1,-3,4}, c1=2a-5b, c2=5a-2b.
Задание
3. Даны точки
А,
В,
С.
Найти косинус угла между векторами
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
.
3.2. А (0,-3,6), В (-12,-3,-3), С (-9,-3,-6).
3.3. А (3,3,-1), В (5,5,-2), С (4,1,1).
3.4. А (-1,2,-3), В (3,4,-6), С (1,1,-1).
3.5. А (-4,-2,0), В (-1,-2,4), С (3,-2,1).
3.6. А (5,3,-1), В (5,2,0), С (6,4,-1).
3.7. А (-3,-7,-5), В (0,-1,-2), С (2,3,0).
3.8. А ( 2,-4,6), В (0,-2,4 С (6,-8,10).
3.9. А (0,1,-2), В (3,1,2), С (4,1,1).
3.10. А (3,3,-1), В (1,5,-2), С (4,1,1).
3.11. .А (2,1,-1), В (6,-1,-4), С (4,2,1).
3.12. А (-1,-2,1), В (-4,-2,5), С (-8,-2,2).
3.13. А (6,2,-3), В (6,3,-2), С (7,3,-3).
3.14. А (0,0,4), В (-3,-6,1), С (-5,-10,-1).
3.15. А (2,-8,-1), В (4,-6,0), С (-2,-5,-1).
3.16. А (3,-6,9), В (0,-3,6), С (9,-12,15).
3.17. А (0,2,-4), В (8,2,2), С (6,2,4).
3.18. А (3,3,-1), В (5,1,-2), С (4,1,1).
3.19. А (-4,3,0), В (0,1,3), С (-2,4,-2).
3.20. А (1,-1,0), В (-2,-1,4), С (8,-1,-1).
3.21. А (7,0,2), В (7,1,3), С (8,-1,2).
3.22. А (2,3,2), В (-1,-3,-1), С (-3,-7,-3).
3.23. А (2,2,7), В (0,0,6), С (-2,5,7).
3.24. А (-1,2,-3), В (0,1,-2), С (-3,4,-5).
3.25. А (0,3,-6), В (9,3,6), С (12,3,3).
3.26. А (3,3,-1), В (5,1,-2), С (4,1,-3).
3.27. А (-2,1,1), В (2,3,-2), С (0,0,3).
3.28. А (1,4,-1), В (-2,4,-5), С (8,4,0).
3.29. А (0,1,0), В (0,2,1), С (1,2,0).
3.30. А (-4,0,4), В (0,2,-4), С (-6,8,-10).
Задание 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.
4.1.
a=p+2q;
b=3p-q;
|p|=1;
|q|=2;
(p^q)=
EMBED Equation.3
;
4.2.
a=3p+q;
b=p-2q;
|p|=4;
|q|=1;
(p^q)=
EMBED Equation.3
;
4.3.
a=p-3q;
b=p+2q;
|p|=1/5;
|q|=1;
(p^q)=
EMBED Equation.3
;
4.4.
a=3p-2q;
b=p+5q;
|p|=4;
|q|=1/2;
(p^q)=
EMBED Equation.3
;
4.5.
a=p-2q;
b=2p+q;
|p|=2;
|q|=3;
(p^q)=
EMBED Equation.3
;
4.6.
a=p+3q;
b=p-2q;
|p|=2;
|q|=3;
(p^q)=
EMBED Equation.3
;
4.7. a=2p-q; b=p+3q; |p|=3; |q|=2; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.8.
a=4p+q;
b=p-q;
|p|=7;
|q|=2;
(p^q)=
EMBED Equation.3
;
4.9.
a=p-4q;
b=3p+q;
|p|=1;
|q|=2;
(p^q)=
EMBED Equation.3
;
4.10. a=p+4q; b=2p-q; |p|=7; |q|=2; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.11. a=3p+2q; b=p-q; |p|=10; |q|=1; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.12. a=4p-q; b=p+2q; |p|=5; |q|=4; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.13. a=2p+3q; b=p-2q; |p|=6; |q|=7; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.14. a=3p-q; b=p+2q; |p|=3; |q|=4; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.15. a=2p+3q; b=p-2q; |p|=2; |q|=3; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.16. a=2p-3q; b=3p+q; |p|=4; |q|=1; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.17. a=5p+q; b=p-3q; |p|=1; |q|=2; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.18. a=7p-2q; b=p+3q; |p|=1/2; |q|=2; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.19. a=6p-q; b=p+q; |p|=3; |q|=4; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.20. a=10p+q; b=3p-2q; |p|=4; |q|=1; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.21. a=6p-q; b=p+2q; |p|=8; |q|=1/2; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.22. a=3p+4q; b=q-p; |p|=2,5 |q|=2; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.23. a=7p+q; b=p-3q; |p|=3; |q|=1; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.24.
a=p+3q;
b=3p-q;
|p|=3;
|q|=5;
(p^q)=
EMBED Equation.3
;
4.25. a=3p+q; b=p-3q; |p|=7; |q|=2; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.26. a=5p-q; b=p+q; |p|=5; |q|=3; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.27. a=3p-4q; b=p+3q; |p|=2; |q|=3; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.28. a=6p-q; b=5q+p; |p|=1/2 |q|=4; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.29. a=2p+3q; b=p-2q; |p|=2; |q|=1; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
4.30. a=2p-3q; b=5p+q; |p|=2; |q|=3; (p^q)= EMBED Equation.3 ;
Задание 5. Компланарны ли векторы a, b и c.
5.1. a={2,3,1}; b={-1,0,-1}; c={2,2,2}.
5.2. a={3,2,1}; b={2,3,4}; c={3,1,-1}.
5.3. a={1,5,2}; b={-1,1,-1}; c={1,1,1}.
5.4. a={1,-1,-3}; b={3,2,1}; c={2,3,4}.
5.5. a={3,3,1}; b={1,-2,1}; c={1,1,1}.
5.6. a={3,1,-1}; b={-2,-1,0}; c={5,2,-1}.
5.7. a={4,3,1}; b={1,-2,1}; c={2,2,2}.
5.8. a={4,3,1}; b={6,7,4}; c={2,0,-1}.
5.9. a={3,2,1}; b={1,-3,-7}; c={1,2,3}.
5.10. a={3,7,2}; b={-2,0,-1}; c={2,2,1}.
5.11. a={1,-2,6}; b={1,0,1}; c={2,-6,17}.
5.12. a={6,3,4}; b={-1,-2,-1}; c={2,1,2}.
5.13. a={7,3,4}; b={-1,-2,-1}; c={4,2,4}.
5.14. a={2,3,2}; b={4,7,5}; c={2,0,-1}.
5.15. a={5,3,4}; b={-1,0,-1}; c={4,2,4}.
5.16. a={3,10,5}; b={-2,-2,-3}; c={2,4,3}.
5.17. a={-2,-4,-3}; b={4,3,1}; c={6,7,4}.
5.18. a={3,1,-1}; b={1,0,-1}; c={8,3,-2}.
5.19. a={4,2,2}; b={-3,-3,-3}; c={2,1,2}.
5.20. a={4,1,2}; b={9,2,5}; c={1,1,-1}.
5.21. a={5,3,4}; b={4,3,3}; c={9,5,8}.
5.22. a={3,4,2}; b={1,1,0}; c={8,11,6}.
5.23. a={4,-1,-6}; b={1,-3,-7}; c={2,-1,-4}.
5.24. a={3,1,0}; b={-5,-4,-5}; c={4,2,4}.
5.25. a={3,0,3}; b={8,1,6}; c={1,1,-1}.
5.26. a={1,-1,4}; b={1,0,3}; c={1,-3,-8}.
5.27. a={6,3,4}; b={-1,-2,-1}; c={2,1,2}.
5.28. a={4,1,1}; b={-9,-4,-9}; c={6,2,6}.
5.29. a={-3,3,3}; b={-4,7,6}; c={3,0,-1}.
5.30. a={-7,-10,-5}; b={0,-2,-1}; c={-2,4,-1}.
Задание 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А1, А2, А3 и А4 и его высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3.
6.1. A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3).
6.2. A1(-4,2,6), A2(2,-3,0), A3(-10,5,8), A4(-5,2,-4).
6.3. A1(7,2,4), A2(7,-1,-2), A3(3,3,1), A4(-4,2,1).
6.4. A1(2,1,4), A2(-1,5,-2), A3(-7,-3,2), A4(-6,-3,6).
6.5. A1(-1,-5,2), A2(-6,0,-3), A3(3,6,-3), A4(-10,6,7).
6.6. A1(0,-1,-1), A2(-2,3,5), A3(1,-5,-9), A4(-1,-6,3).
6.7. A1(5,2,0), A2(2,5,0), A3(1,2,4), A4(-1,1,1).
6.8. A1(2,-1,-2), A2(1,2,1), A3(5,0,-6), A4(-10,9,-7).
6.9. A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,-4), A4(1,-4,6).
6.10. A1(14,4,5), A2(-5,-3,2), A3(-2,-6,-3), A4(-2,2,-1).
6.11. A1(1,2,0), A2(3,0,-3), A3(5,2,6), A4(8,4,-9).
6.12. A1(2,-1,2), A2(1,2,-1), A3(3,2,1), A4(-4,2,5).
6.13. A1(1,1,2), A2(-1,1,3), A3(2,-2,4), A4(-1,0,-2).
6.14. A1(2,3,1), A2(4,1,-2), A3(6,3,7), A4(7,5,-3).
6.15. A1(1,1,-1), A2(2,3,1), A3(3,2,1), A4(5,9,-8).
6.16. A1(1,5,-7), A2(-3,6,3), A3(-2,7,3), A4(-4,8,-12).
6.17. A1(-3,4,-7), A2(1,5,-4), A3(-5,-2,0), A4(2,5,4).
6.18. A1(-1,2,-3), A2(4,-1,0), A3(2,1,-2), A4(3,4,5).
6.19. A1(4,-1,3), A2(-2,1,0), A3(0,-5,1), A4(3,2,-6).
6.20. A1(1,-1,1), A2(-2,0,3), A3(2,1,-1), A4(2,-2,-4).
6.21. A1(1,2,0), A2(1,-1,2), A3(0,1,-1), A4(-3,0,1).
6.22. A1(1,0,2), A2(1,2,-1), A3(2,-2,1), A4(2,1,0).
6.23. A1(1,2,-3), A2(1,0,1), A3(-2,-1,6), A4(0,-5,-4).
6.24. A1(3,10,-1), A2(-2,3,-5), A3(-6,0,-3), A4(1,-1,2).
6.25. A1(-1,2,4), A2(-1,-2,-4), A3(3,0,-1), A4(7,-3,1).
6.26. A1(0,-3,1), A2(-4,1,2), A3(2,-1,5), A4(3,1,-4).
6.27. A1(1,3,0), A2(4,-1,2), A3(3,0,1), A4(-4,3,5).
6.28. A1(-2,-1,-1), A2(0,3,2), A3(3,1,-4), A4(-4,7,3).
6.29. A1(-3,-5,6), A2(2,1,-4), A3(0,-3,-1), A4(-5,2,-8).
6.30. A1(1,-1,2), A2(2,1,2), A3(1,1,4), A4(6,-3,8).