Вопросы для самопроверки

1. Опишите метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Задачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений методом Гаусса

1. EMBED Equation.DSMT4 2. EMBED Equation.DSMT4

3. EMBED Equation.DSMT4 4. EMBED Equation.DSMT4

5. EMBED Equation.DSMT4 6. EMBED Equation.DSMT4

Ответы: 1. EMBED Equation.DSMT4 2. EMBED Equation.DSMT4

3. EMBED Equation.DSMT4

4. EMBED Equation.DSMT4

5. EMBED Equation.DSMT4 6. EMBED Equation.DSMT4

Занятие 5. Векторы и простейшие действия над ними.

5.1. Понятие вектора

Во многих математических и прикладных задачах приходится рассматривать направленный отрезок, т.е. множество точек, заключенных между точками EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 прямой с указанным направлением (к примеру, от EMBED Equation.3 к EMBED Equation.3 ).

Будем говорить, что всякий направленный отрезок задает вектор.

Обозначение EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 - начало, EMBED Equation.3 - конец), либо EMBED Equation.3 .

Начало вектора называют точкой его приложения.

Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковые направления. (Все нулевые векторы равны).

В любой системе координат вектор характеризуется своими координатами: EMBED Equation.3 .

Если координаты точек начала и конца вектора EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 т.е. координаты вектора EMBED Equation.3 равны разностям координат конца и начала вектора. Длина вектора EMBED Equation.3 .

Векторы называют компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

5.2. Линейные операции над векторами

1. Суммой EMBED Equation.3 двух векторов EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 называется вектор,

Рис. 2. Рис. 3.

идущий из начала вектора EMBED Equation.3 в конец вектора EMBED Equation.3 при условии, что вектор EMBED Equation.3 приложен к концу вектора EMBED Equation.3 . (правило треугольника) ( рис. 2).

Наряду с правилом треугольника часто пользуются правилом параллелограмма. Если векторы приведены к одном началу, то их сумма есть вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма (рис . 3).

Правило сложения векторов обладает свойствами

1) EMBED Equation.3 (переместительное свойство);

2) EMBED Equation.3 (сочетательное свойство);

3) Существует нулевой вектор 0 такой, что EMBED Equation.3 для любого вектора EMBED Equation.3 .

4) Для каждого вектора EMBED Equation.3 существует противоположный ему вектор EMBED Equation.3 такой, что EMBED Equation.3 (противоположный вектор – вектор коллинеарный вектору EMBED Equation.3 , но имеющий противоположное направление).

Для сложения n-ого числа векторов существует «правило замыкания ломаной до многоугольника»: если приложить вектор EMBED Equation.3 к концу вектора EMBED Equation.3 , вектор EMBED Equation.3 к концу EMBED Equation.3 , …, вектор EMBED Equation.3 к концу вектора EMBED Equation.3 , то сумма EMBED Equation.3 будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора EMBED Equation.3 в начало вектора EMBED Equation.3 .

2. Разностью EMBED Equation.3 вектора EMBED Equation.3 и вектора EMBED Equation.3 называется вектор EMBED Equation.3 , который в сумме с вектором EMBED Equation.3 дает вектор EMBED Equation.3 .

Разность EMBED Equation.3 приведенных к общему началу векторов EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора EMBED Equation.3 в конец уменьшаемого EMBED Equation.3

3. Произведением EMBED Equation.3 (или EMBED Equation.3 ) вектора EMBED Equation.3 на вещественное число EMBED Equation.3 называется вектор EMBED Equation.3 , коллинеарный вектору EMBED Equation.3 , имеющий длину, равную EMBED Equation.3 , и направление, совпадающее с направлением вектора EMBED Equation.3 в случае EMBED Equation.3 или противоположное – в случае EMBED Equation.3 . Если EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 - нулевой вектор (направление которого не определено).

Геометрический смысл: при умножении вектора EMBED Equation.3 на число EMBED Equation.3 , вектор EMBED Equation.3 «растягивается» в EMBED Equation.3 раз (при EMBED Equation.3 ) или «сжимается» (при EMBED Equation.3 ). При EMBED Equation.3 еще и меняет направление.

Операции сложения и вычитания векторов, умножение вектора на число называются линейными операциями

Свойства линейных операций:

1. _{EMBED Equation.3} (распределительное свойство числового сомножителя).

2. _{EMBED Equation.3} (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел).

3. _{EMBED Equation.3} (сочетательное свойство числовых сомножителей).

Теорема. Если вектор EMBED Equation.3 коллинеарен ненулевому вектору EMBED Equation.3 , то существует вещественное число EMBED Equation.3 , такое, что EMBED Equation.3 .