Задачи для самостоятельного решения
1. Составить уравнение плоскости, проведенной через точку К (1;5;2) параллельно плоскости, проходящей через три точки L (4;-3;1), M (3;4;0), N (-1;-1;5).
Ответ.
EMBED Equation.3
.
2. Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости.
1) 3x- y+ lz -9 = 0, 2x + my + 2z - 3=0.
2) mx+ 3y - 2z -1=0, 2x - 5y -lz =0.
Ответ.1)
EMBED Equation.DSMT4
2) EMBED Equation.DSMT4
3. Определить, при каком значении l следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости
1) 5x+ y -3z -3 = 0, 2x + ly +- 3z -1=0.
2) 7x - 2y - z = 0, lx+ y -3z -1 = 0.
Ответ. 1) – 19; 2) -1/7.
4. Определить, двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
1)
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
.
2)
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
3)
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
Ответ.
1)
EMBED Equation.3
,
2) EMBED Equation.3
,
3)
EMBED Equation.3
5. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и через точки P (4;-2;1) и Q (2;4;-3).
Ответ.
EMBED Equation.3
.
6.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (5;4;3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.
Ответ.
EMBED Equation.3
.
7. Найти уравнение плоскости, проходящей:
1) через точку М (-2; 3; 4), если; она отсекает на осях координат равные отрезки; 2) через точку N(2; -1; 4), если она отсекает на оси Oz отрезок вдвое больший, чем на осях Ох и Оу.
Ответ.. 1) x+y+z-5=0, 2) 2x+2y+z-6 = 0.
8. Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку М (1; —1; —1), из которых одна содержит ось Ох, а другая - ось Oz.
Ответ. 60°.
9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей 2x+2y+z-7=0, 2х-y+3z-3=0, 4x+5y-2z-12=0 и через точки М(0; 3; 0) и N(l; 1; 1).
Ответ. х - z=0.
10.
Какой угол образует с плоскостью х+y+2z-4
= 0 вектор EMBED Equation.DSMT4
?
Указание. Использовать нормальный вектор плоскости.
Ответ.
arcsin
EMBED Equation.3
Занятие 12. Прямая в пространстве
12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
Прямую линию, являющуюся пересечением двух различных плоскостей, определяемых уравнениями
EMBED
Equation.3
и
EMBED Equation.3
,
можно задавать двумя уравнениями этих
плоскостей, т. е.
EMBED
Equation.3
.
(12.1)
Получим общее уравнение прямой в пространстве.
Пусть
прямая проходит через данную точку
EMBED Equation.3
(х1,
у1,z1)
и имеет заданный направляющий вектор
EMBED Equation.3
.
Точка EMBED Equation.3
(х,
у, z)
лежит на этой прямой тогда и только
тогда, когда векторы EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
= EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
коллинеарны, т.е. их координаты
пропорциональны
EMBED Equation.3
(12.2)
- канонические уравнения прямой в пространстве, где хотя бы одно из чисел l,m, n ¹ 0.
Прямую, заданную
общими уравнениями можно привести к
каноническому виду. Для этого необходимо
найти координаты точки, лежащей на
прямой, и координаты направляющего
вектора этой прямой. Общее уравнение
прямой (3.1) представляет систему двух
уравнений с тремя неизвестными, решением
которой является множество точек
(множество решений), лежащих на прямой,
из которых нам необходимо выбрать одну.
Для этого положим EMBED Equation.3
и найдем координаты EMBED Equation.3
и
EMBED Equation.3
,
решая систему уравнений
EMBED
Equation.3
.
Для
нахождения координат l,
m,
n
вектора EMBED Equation.3
,
заметим, что EMBED Equation.3
ортогонален каждому из нормальных
векторов плоскостей EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
и EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
.
Так что можно положить EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
.
Тогда
EMBED
Equation.3
;
l = b1c2 – b2c1; m = C1A2 – C2A1; n = A1B2 – A2B1.
Пример 12.1. Привести общее уравнение прямой к каноническому виду.
EMBED
Equation.3
Решение.
Найдем
координаты точки, через которую проходит
прямая. Положим EMBED Equation.3
,
тогда
EMBED
Equation.3
,
отсюда EMBED Equation.3
.
Найдем координаты направляющего вектора прямой.
EMBED
Equation.3
Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
EMBED
Equation.3
или
EMBED
Equation.3
.