- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны точки А(3;-1; 2) и В(-1; 2; 1). Найти координаты векторов EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 .
2. Вычислит модуль вектора EMBED Equation.DSMT4 ={6; 3; -2}.
3. Дан модуль вектора EMBED Equation.DSMT4 = 2 и углы α = 45˚, β = 60˚ , γ= 120˚. Вычислить проекции вектора EMBED Equation.DSMT4 на координатные оси.
4. Вычислить направляющие косинусы вектора EMBED Equation.DSMT4 ={12; -15; -16}.
5. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 1) α = 45˚, β = 60˚ , γ= 120˚; 2) α = 45˚,
β =135˚ , γ= 60˚; 3) α = 90˚, β =150˚ , γ= 60˚.
6. Вектор EMBED Equation.DSMT4 составляет с осями Ох и Оz углы α = 120˚ и
γ= 45˚. Какой угол он составляет с осью Оу.
7. Вектор EMBED Equation.DSMT4 составляет с координатными осями углы
α = 60˚, β = 120˚. Вычислить его координаты при условии, что EMBED Equation.DSMT4 =2.
10. Даны два вектора EMBED Equation.DSMT4 .={3; -2; 6} и EMBED Equation.DSMT4 = {-2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:
1) EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 ; 2) EMBED Equation.DSMT4 - EMBED Equation.DSMT4 ; 3) 2 EMBED Equation.DSMT4 ; 4) - EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 5) 2 EMBED Equation.DSMT4 + 3 EMBED Equation.DSMT4 ; 6) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 - EMBED Equation.DSMT4 .
11. Даны точки А (-1; 5; -10), В ( 5; -7; 8), С (2; 2; -7) и
D (5; -4; 2).Проверить . что векторы EMBED Equation.DSMT4 и EMBED Equation.DSMT4 коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
12. Найти орт вектора EMBED Equation.DSMT4 ={6; -2; -3}.
13. Определить модули суммы и разности векторов
- EMBED Equation.DSMT4 ={3; -5; 8} и EMBED Equation.DSMT4 ={-1; 1; -4}.
Ответы: 1. EMBED Equation.DSMT4 {-4; 3; -1}, EMBED Equation.DSMT4 = {4;- 3; 1}. 2. EMBED Equation.DSMT4 = 7. 3. EMBED Equation.DSMT4 . 4. ) cos α =3/13, cos β = 4/13 ,
cos γ= 12/13; 5 1) Может; 2) не может; 3) может. 6. 60˚ или 120˚. 7. EMBED Equation.DSMT4 .={1; -1; EMBED Equation.DSMT4 } или EMBED Equation.DSMT4 .={1; -1; - EMBED Equation.DSMT4 }.. 10. 1) {1; -1; 6}; 2){5; -3; 6}; 3) {6; -4; 12}; 4) {1; -1/2; 0}; 5) {0; -1; 12}; 6) {3; -5/3; 2}. 11. Вектор EMBED Equation.DSMT4 в два раза длиннее вектора EMBED Equation.DSMT4 ; они направлены в одну сторону. 12 EMBED Equation.DSMT4 =.{6/7; -2/7; -3/7}..13. EMBED Equation.DSMT4 = 6, EMBED Equation.DSMT4 = 14.
Занятие 7. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 , (7.1)
где EMBED Equation.3 - угол между EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Физический смысл – скалярное произведение- это работа вектора силы EMBED Equation.3 вдоль вектора EMBED Equation.3 .
Произведение EMBED Equation.3 - есть проекция вектора EMBED Equation.3 на ось, определяемую вектором EMBED Equation.3 , или же EMBED Equation.3 - проекция вектора EMBED Equation.3 на ось, определяемую вектором EMBED Equation.3 , так как угол EMBED Equation.3 - угол между EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.
EMBED Equation.3 , (7.2)
Умножая вектор сам на себя, получим формулу для вычисления модуля вектора
EMBED Equation.3 . (7.3)
Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
В дальнейшем под углом между двумя векторами будем подразумевать тот угол, который не превосходит EMBED Equation.3 .