- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Вопросы для самопроверки
1. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?
2. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?
3. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?
4. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?
5. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?
6. При каком условии система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?
7. Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства?
8. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?
Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1-7 решить системы уравнений:
1. EMBED Equation.3 . 2. EMBED Equation.3 .
3. EMBED Equation.3 .4. EMBED Equation.3 .
5. EMBED Equation.3 . 6. EMBED Equation.3
7. EMBED Equation.3
8.Найти сумму матриц
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
9. Найти матрицу 2А+5В, если
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
10. .Найти значение матричного многочлена 2А2+3А+5Е при EMBED Equation.3 , если Е –единичная матрица третьего порядка.
11. Найти матрицу АВ, если EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , В= EMBED Equation.3 .
12. Дана матрица EMBED Equation.3 . Найти матрицу EMBED Equation.3 .
Ответы: 1. (1;-2;1). 2. (3;4;-1). 3. ( 1+t; -2+3t; 4-t; t ).
4. ( -1+2t; 2-t; 3+t; t ). 5. ( 0; 0; 0 ). 6. ( 1 ;5 ;2 ). 7. ( 1; 2; 3; 4 ). 8. EMBED Equation.3 . 9. EMBED Equation.3
10. EMBED Equation.3 . 11. АВ= EMBED Equation.3 . 12. EMBED Equation.3
Занятие 3. Ранг матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы
3.1. Вычисление ранга матрицы
Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов
А = EMBED Equation.3 .
Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, которые находятся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка; определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что в общем случае таких миноров k-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n, т. е.
max k = min(m,n)
Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. В свою очередь, среди этих миноров можно найти, по крайней мере, один минор наибольшего порядка.
Наибольший порядок миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы .
Для вычисления ранга матрицы приведем ее к ступенчатому виду: Будем изменять матрицу А размера m´n так, чтобы сохранялся ее ранг. В результате матрица приводится к виду:
|
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . (3.1) |
m-r{ |