Вопросы для самопроверки

1. Каким характерным признаком отличается уравнение плоскости в декартовой системе координат от уравнений других поверхностей?

2. Как располагается плоскость относительно осей координат, если в ее уравнении отсутствуют те или иные члены?

3. Как определить, по какую сторону от плоскости расположена точка?

4. Приведите формулу вычисления расстояния от точки до плоскости.

Задачи для самостоятельного решения

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2;3;5) и перпендикулярной вектору EMBED Equation.3 .

Ответ. EMBED Equation.3 .

2. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями 2х- 3y + 6 z-14 = 0 и 4х- 6 y + 12z+21=0 .

Ответ.3,5.

3. Две грани куба лежат на плоскостях2х- 2y + z-1 = 0, 2х- 2y + z+5 = 0. Вычислить объем этого куба.

Ответ. 8 куб. ед.

4. Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей: а) х + у – z- 2 = 0; б) 3x + 5у-4z+7=0.

в) EMBED Equation.3

Ответ.

а) EMBED Equation.3 б) EMBED Equation.3

в) EMBED Equation.3

5. Определить, лежат ли точка М (1;1;-9) и начало координат по одну или по разные стороны от плоскости EMBED Equation.3

Ответ. Точка М и начало координат лежат по одну сторону от данной плоскости.

6. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки EMBED Equation.3 (2; 3; -5) на плоскость 4x-2y+5z -12=0.

Ответ. EMBED Equation.3

7. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Ответ. 4x-3y+12z-169=0.

8. Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси координат перпендикулярно к плоскости

Зх- 4y+5z-12=0.

Ответ. 5y+4z=0; 5х-3z = 0; 4x+3y=0.

9. Найти уравнение плоскости, точки которой одинаково удалены от точек Р (1; -4; 2) и Q (7; 1; —5).

Ответ. 6x+5y-7z-27 = 0.

10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (0; 2; 1) и параллельной векторам

EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3

Указание. Искомая плоскость перпендикулярна к вектору EMBED Equation.DSMT4 .

Ответ. x – у + 2 = 0.

Занятие 11. Плоскость

11.1. Уравнение плоскости в отрезках.

Если EMBED Equation.3 ¹ 0, то уравнение (10.1) можно записать

EMBED Equation.3 (11.1)

- уравнение плоскости в отрезках, где EMBED Equation.3 .

Эта плоскость пересекает ось EMBED Equation.3 в точке ( EMBED Equation.3 , 0, 0), EMBED Equation.3 – в точке (0, EMBED Equation.3 , 0), ось EMBED Equation.3 – в точке (0, 0, EMBED Equation.3 ). Исходя из этого, легко определить расположение плоскости относительно системы координат.

11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть даны три точки EMBED Equation.3 (х₁, у₁, z₁), EMBED Equation.3 ₍х₂, у₂, z₂),

_{EMBED Equation.3} (х₃, у₃, z₃) не лежащие на одной прямой.

Определим уравнение плоскости (причем единственной), проходящей через эти три точки.

Так как три точки не лежат на одной прямой, то векторы

_{EMBED Equation.3} = (х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂– z₁), _{EMBED Equation.3} = (х₃ – х₁, у₃ – у₁, z₃ – z₁) не коллинеарны. Тогда точка EMBED Equation.3 лежит в одной плоскости с точками EMBED Equation.3 тогда и только тогда, когда векторы _{EMBED Equation.3 EMBED Equation.3} и _{EMBED Equation.3} = EMBED Equation.3 компланарны, то есть только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю,

_{EMBED Equation.3} - ( 11.2 )

-это уравнение плоскости, проходящей через три точки.