15.2. Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых суммы расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Пусть постоянная, о которой говорилось в определении равна 2а, а расстояние между фокусами 2с.

Выберем систему координат следующим образом. Пусть ось Ох проходит через фокусы, а ось Оу через середину отрезка F₁F₂. Тогда ф

Рис. 19.

окусы имеют координаты: F₁=(-c,0); F₂=(c,0). Из определения EMBED Equation.DSMT4 . И уравнение эллипса принимает простейший (канонический) вид

EMBED Equation.3 .

Здесь а – большая, b – малая полуоси эллипса, причем a,d,c связаны соотношением a² = b² + c² ( EMBED Equation.3 ).

Ф орма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом EMBED Equation.3 , (так как с < а, то ε < 1).

В частном случае, когда а = b (с=0, ε = 0, фокусы сливаются в одной точке—центре), эллипс превра­щается в окружность (с уравнением х² + у² = а²).

Две прямые перпендикулярные большей оси эллипса, расположенные симметрично от начала координат на расстоянии EMBED Equation.DSMT4 , называются директрисами эллипса. Их уравнения можно записать

D₁ : х = EMBED Equation.3 , D₂ : х = EMBED Equation.3 .

Директрисы эллипса расположены вне эллипса, поскольку

EMBED Equation.3 > а (0< EMBED Equation.3 < 1).

Теорема. Отношение расстояния r_i от точки М эллипса до фокуса F_i к расстоянию d_i от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы EMBED Equation.3 равно эксцентриситету ε этого эллипса.

Пример 15.4. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

Решение. Пусть искомое уравнение эллипса будет EMBED Equation.3 . Этому уравнению должны удовлетворять коор­динаты данных точек. Следовательно,

EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .

Отсюда а² = 10, b²= 1 и уравнение эллипса имеет вид EMBED Equation.3 .

Вопросы для самопроверки

1. Каковы канонические уравнения окружности и эллипса?

2. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса?

3. Каковы геометрические свойства эллипса?

Задачи для самостоятельного решения

1 Составить уравнение хорды окружности х²+у² = 49, делящейся в точке А(1;2) пополам.

Ответ. х + 2у -5 = 0.

2. Определить координаты центров и радиусы окружностей:

а) х²+у² - 8х + 6у = 0; б) х²+у²+10х- 4у+29 = 0;

в) х²+у²- 4х+14у + 54 = 0.

Ответ: а) а = 4, b=-3, r= 5; б) а = -5, b = 2, r=0. Уравнение определяет точку;

в) а =2, b=-7, r ²=-1. Уравнение не имеет геометрического смысла (мнимая, окружность).

3. Найти угол между радиусами окружности

х²+у²+4х-6у=0, проведенными в точки пересечения ее с осью Оу.

Ответ: tgφ=-2,4.

4. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(1; 2), В(0;-1), С(-3; 0).

Ответ: (х+1)²+(у -1)²=5.

5. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (7; 7) и В(-2; 4), зная, что ее центр лежит на прямой

2х- у-2=0.

Ответ: (х- З) ²+(у-4)²=25.

6. Составить уравнение общей хорды окружно­стей х²+у²=16 и (х -5)² + у² = 9.

Ответ: х=3,2.

7. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса EMBED Equation.3 .

Ответ: 4х+3у+12= 0.

8. На прямой х+5=0 найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины эллипса EMBED Equation.3 .

Ответ: М(—5; 7).

9. Пользуясь определением эллипса, составить его уравнение, зная, что точки F₁ (0; 0) и F₂ (1; 1) явля­ются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 2.

Ответ: Зх² + Зу² - 2ху - 2х - 2у - 1 == 0.

10. Составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от точки А (0; 1) з два раза меньше расстояния до прямой у—4=0.

Ответ: EMBED Equation.3 .

.

Занятие 16. Кривые второго порядка: гипербола, парабола