- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Вопросы для самопроверки
1. Как вычисляются углы между плоскостью и прямой?
2. Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости?
3. Как проверить, что прямая принадлежит плоскости?
4. Как найти точку пересечения прямой с плоскостью?
5. Как найти расстояние между параллельными прямыми, между скрещивающимися прямыми?
Задачи для самостоятельного решения
Найти угол между прямой EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 и плоскостью EMBED Equation.3 .
Ответ. EMBED Equation.3 .
2. При каком значении EMBED Equation.3 прямая EMBED Equation.3 параллельна плоскости EMBED Equation.3 .
Ответ. EMBED Equation.3 .
3. При каких значениях B и D прямая EMBED Equation.3 лежит в плоскости EMBED Equation.3 ?
Ответ. B=2 и D=8.
4. При каких значениях EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 прямая перпендикулярна плоскости EMBED Equation.3 ?
Ответ. EMBED Equation.3 .
5. Найти точку пересечения прямой и плоскости:
1) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
3) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Ответ.1) (2; -3; 6); 2) прямая, параллельная плоскости; 3) прямая лежит на плоскости.
6. Найти точку Q, симметричную точке Р (4; 1; 6) относительно прямой
EMBED Equation.DSMT4
Ответ. Q (2; - 3; 2).
7. Найти точку Q, симметричную точке Р (2; -5; 7) относительно прямой, проходящей через точки М1 (5; 4;6) и
М2(-2;-17; - 8).
Ответ. Q (4; 1; -3).
8. Найти проекцию точки Р (5; 2; -1) на плоскость
EMBED Equation.3 .
Ответ. (1; 4; -7).
9. Найти точку Q, симметричную точке Р (1; 3; -4) относительно плоскости EMBED Equation.3 .
Ответ.Q (-5; 1; 0).
10. Вычислить расстояние d от точки Р(2 3;-1) до следующих прямых:
1) EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.DSMT4
3) EMBED Equation.DSMT4
Ответ.1) 21; 2) 6; 3) 15.
11. Убедившись, что прямые
EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4
параллельны, вычислить расстояние между ними.
Ответ. 25
12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1; 2;-3) параллельно прямым
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Ответ. EMBED Equation.3 .
13. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:
1) EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 .
2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 .
Ответ. 1) 3; 2) 7.
Занятие 14. Прямая на плоскости
14.1. Общее уравнение прямой.
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяют относительно этой системы прямую линию.
Уравнение вида
Ах + Ву + С = 0 (14.1)
называется общим уравнением прямой, здесь EMBED Equation.3 какие угодно постояные, причем из постоянных EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 хотя бы одна отлична от нуля. Эта прямая ортогональна вектору EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 – нормальному вектору прямой.
В самом деле уравнение (14.1) имеет хотя бы одно решение х0, у0, т. е существует точка EMBED Equation.3 (х0,у0), координаты которой удовлетворяют уравнению (14.1):
Ах0 + Ву0 +С = 0.
Вычитая это уравнение из (5.1), получим уравнение прямой, проходящей через точку
А(х – х0) + В(у – у0) = 0 (14.2)
Это уравнение определяет прямую, проходящую через точку EMBED Equation.3 (х0,у0) и перпендикулярную вектору EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Если два общих уравнения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определяют одну и ту же прямую, то их коэффициенты пропорциональны EMBED Equation.3 .
Общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 называется полным, если все коэффициенты EMBED Equation.3 ¹ 0. Если хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным.
С = 0: Ах + Ву = 0 – прямая, проходящая через начало координат.
В = 0: Ах + С = 0 – прямая, перпендикулярная оси EMBED Equation.3 х ( EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 перпендикулярен оси EMBED Equation.3 у).
В = 0; С = 0: Ах = 0 – ось EMBED Equation.3 у (прямая параллельна EMBED Equation.3 у и проходит через начало координат).
Полное уравнение прямой может быть приведено к уравнению прямой в отрезках
EMBED Equation.3 , (14.3)
где EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = - EMBED Equation.3 .Числа EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 равны величинам отрезков, которые отсекает прямая на осях EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 у от начала координат, соответственно. Это уравнение удобно для построения прямой на чертеже.
Пример 14.1. Даны вершины треугольника
EMBED Equation.3 Составить уравнение высоты AD.
Решение. Так как высота AD перпендикулярна стороне BC , то вектор EMBED Equation.3 является вектором нормали для прямой EMBED Equation.3 . Тогда общее уравнение прямой EMBED Equation.3 имеет вид
EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3
EMBED Equation.3