14.2. Каноническое уравнение прямой.

Введем понятие направляющего вектора прямой, это любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Очевидно, что точка EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторы EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 коллинеарны, т. е., когда координаты этих векторов пропорциональны:

_{EMBED Equation.3} (14.4)

– каноническое уравнение прямой.

(Отношение следует понимать как EMBED Equation.3 ,

т. е. если l = 0, а m ¹ 0, то х – х₁ = 0).

Отсюда уравнение прямой, проходящей через две данные точки EMBED Equation.3 (х₁, у₁), EMBED Equation.3 (х₂,у₂):

_{EMBED Equation.3} (14.5)

Пример 14.2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(—1; 3) и N(2; 5).

. Решение. В уравнении EMBED Equation.3 берем EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Получаем EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 . Итак, искомое уравнение имеет вид 2х-3у+11=0.

Пример 14.3. Составить каноническое уравнение медианы АЕ треугольника, вершинами которого являются точки EMBED Equation.3

Решение. Медиана АЕ делит сторону ВС пополам. Тогда, используя формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении (4.9), найдем координаты точки Е.

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Зная координаты точки EMBED Equation.3 и координаты вершины EMBED Equation.3 , составим каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки

EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 - каноническое уравнение медианы АЕ.

Пример 14.4. Даны вершины треугольника : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Составить уравнение биссектрисы угла А.

Решение. Пусть точка D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла

треугольника следует, что EMBED Equation.3

.Но EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3

Следовательно, EMBED Equation.3

Так как известно отношение, в котором точка D делит отрезок ВС, то координаты точки D определятся по формулам EMBED Equation.3 , или EMBED Equation.3 , т.е. EMBED Equation.3 . Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходящей через точки А и D:

EMBED Equation.3 , т.е. EMBED Equation.3

14.3. Параметрические уравнения прямой.

Примем за параметр EMBED Equation.3 величину EMBED Equation.3 = t, тогда область определения t: -¥ < t < ¥. Мы получим х – х₁ = lt; у – у₁ = mt и параметрическое уравнение прямой

х = EMBED Equation.3 у = EMBED Equation.3 (14.6)

14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Тангенс угла наклона прямой к оси EMBED Equation.3 назовем угловым коэффициентом этой прямой: EMBED Equation.3 .

Уравнение прямой, проходящей через точку М₁(х₁, у₁) и имеющей заданный угловой коэффициент k, запишется в виде : у – у₁ = k(х – х₁) (5.7)

Если обозначить постоянную у₁ – kx₁ = b, то (5.7) примет вид

у = kx + b (14.8)

Пример 14.5. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b= - 3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол α = EMBED Equation.3 .

Решение. Находим угловой коэффициент: EMBED Equation.3 . Воспользовавшись уравнением прямой с угловым коэффициентом, получаем EMBED Equation.3 ; освобождаясь от знаменателя и перенося все члены в левую сторону, получаем общее уравнение прямой EMBED Equation.3 .