14.5. Угол между двумя прямыми.

.Пусть прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом у = k₁х+ b₁ и у = k₂x + b₂; и EMBED Equation.3 = - угол между прямыми. Тогда

_{EMBED Equation.3} (14.9)

Прямые параллельны, если EMBED Equation.3 = 0, и условие параллельности

EMBED Equation.3 (14.10)

Условие перпендикулярности – это условие того, что tgj не существует, т.е. 1 + EMBED Equation.3 = 0, отсюда условие перпендикулярности

_{EMBED Equation.3} (14.11)

Пример 14.6. Определить угол между прямыми

1. у=2x+5 и у=-3х+1:

2. EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3

Решение. 1) В формуле EMBED Equation.3 принимаем EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тогда EMBED Equation.3 , т. e EMBED Equation.3 .

.2) Здесь EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Так как EMBED Equation.3 , то прямые перпендикулярны.

Пример. 14.7. Даны уравнения высот треугольника АВС: x+y -2 = 0; 9x - 3y-4=0 и координаты вершины A(2; 2). Составить уравнения сторон треугольника.

Решение. Легко убедиться в том, что вершина А не лежит ни на одной из заданных высот: ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих высот.

Пусть 9x – 3у – 4 = 0 - уравнение высоты ВВ₁ и x+y -2=0 - уравнение высоты СС₁. Составим уравнение стороны АС, рассматривая ее как прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную высоте ВВ₁. Так как угловой коэффициент высоты ВВ₁ равен 3, то угловой коэффициент стороны АС равен -1/3, т. е. k_AC=-1/3 . Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент, получим уравнение стороны АC: y-2=-1/3(x-2), или x + 3y – 8 = 0. Аналогично получаем k EMBED Equation.3 , k_AB=1 и сторона АВ определится уравнением у – 2 = x - 2, т. е. у = х. Решив совместно уравнения прямых АВ и ВВ₁ а также прямых АС и СС₁, найдем координаты вершин треугольника В и С: В(2/3;2/3) и С(-1;3). Остается составить уравнение стороны ВС:

EMBED Equation.3 , т.е.7x + 5y – 8 = 0.

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается общее уравнение прямой на плоскости?

2. Как записываются параметрические уравнения прямой на плоскости?

3. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?

4. Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости?

5. Как вычисляются углы между двумя прямыми на плоскости? Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости?

Задачи для самостоятельного решения

1. Дано уравнение прямой EMBED Equation.3 .

Написать: а) общее уравнение этой прямой; б) уравнение с угловым коэффициентом; в) уравнение в отрезках; г) нормальное уравнение.

Ответ: а) EMBED Equation.3 ; б) EMBED Equation.3 ; в) EMBED Equation.3 ; г) EMBED Equation.3

2. Прямая отсекает на осях координат равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой с осями координат, равна 8.

Ответ. х + y - 4 = 0.

3. Даны вершины треугольника АВС : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Определить внутренний угол при вершине А.

Ответ. EMBED Equation.3 .

4. Даны стороны треугольника: EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 . Составить уравнения его высот.

Ответ. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .

5. Даны вершины треугольника EMBED Equation.3 Составить уравнения медианы, проведенной из вершины В ,и высоты, опущенной из вершины С . Вычислить площадь треугольника.

Ответ. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 кв.ед.

6. Даны вершины треугольника АВС: А(0;2), B(7;3) и С(1;6). Определить ВАС=.

Ответ. EMBED Equation.3

7. Даны стороны треугольника x + y - 6=0, 3x - 5y+14=0 и 5x -3y -14=0. Составить уравнения высот треугольника.

Ответ. x-y = 0, 5x +3y -26 = 0, 3x +5y – 26 = 0.

8.. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми 3x +4y – 20 = 0 и 8x+6y + 35 = 0.

Ответ. 14x +14y – 45 = 0, 2x - 2y + 35 = 0.

9. Даны вершины треугольника: А(0;0), В(-1;-3) и С(-5;-1). Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных сторонам треугольника.

Ответ. 3x – y +14 = 0, x - 5y -14 = 0, x +2y = 0

10. Определить расстояние от точки М(2;-1)до прямой, отсекающей на осях координат отрезки а =8, b=6.

Ответ. 4,4.

11. Найти длину высоты треугольника с вершинами A(3/2;1), B(1;5/3), С(3;3), проведенной из вершины С.

Ответ. 2,4.

12. Даны середины сторон треугольника: A₁(-1;-1), B₁(1;9), C₁(9;1). Составить уравнения перпендикуляров к сторонам, проходящих через середины соответствующих сторон треугольника.

Ответ. х –y = 0, x + 5y – 14 = 0, 5x +y – 14 = 0.

13. Найти острый угол, образованный с осью ординат прямой, проходящей через точки:

А(2; EMBED Equation.3 ) и B(3; EMBED Equation.3 ).

Ответ. EMBED Equation.3

14. Точки А(1;2) и С(3;6) являются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин квадрата.

Ответ. (0;5) и (4;3).

15. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых x +2y +3 = 0, 2x +3y +4 = 0 и параллельную прямой

5x +8y = 0.

Ответ. 5х +8у +11 = 0.

16. Показать, что треугольник со сторонами х +y EMBED Equation.3 +1=0, x EMBED Equation.3 + y+1 = 0 и x –y -10 = 0 равнобедренный. Найти угол при вершине треугольника.

Ответ. 30°.

17. Дана вершина треугольника A(3;9) и уравнения медиан: у – 6 = 0 и 3х - 4y +9 = 0. Найти координаты двух других вершин.

Ответ. В(1;3), С(11;6).

18. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что четвертой стороной является отрезок прямой

4x +3y -12 = 0, концы которого лежат на осях координат.

Ответ. 3х - 4у -9 = 0, 3х - 4у +16 = 0, 4x +3y -37 = 0 или

4х +3у +13 = 0.

Занятие 15. Кривые второго порядка: окружность, эллипс

15.1. Окружность.

Окружность-это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра) . Если r-радиус окружности, а точка С(a; b)-ее центр то уравнение окружности имеет вид

(x-a)²+(y-b)²= r². (15.1)

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то последнее уравнение примет вид

x² + y² = r² .

Полезно помнить, что уравнение окружности содержит старшие члены x² и y² с равными коэффициентами и в нем отсутствует член с произведением x на y.

Пример 15.1. Найти координаты центра и радиус окружности 2x² + 2y² - 8х- 5у-4=0.

Решение. Разделив уравнение на 2 и сгруппировав члены уравнения, получим EMBED Equation.3 . Дополним x² -4х и y²+ EMBED Equation.3 до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4 и ко второму EMBED Equation.3 (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел):

EMBED Equation.3

или

EMBED Equation.3

Таким образом, координаты центра окружности а = 2,

b= -5/4 и радиус окружности r =11/4.

Пример 15.2. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданны уравнениями.

9х -2у – 41 = 0, 7х +4у + 7 = 0, х -3у +1= 0.

Решение. Найдём координаты вершин треугольника, решив совместно три системы уравнений:

1) EMBED Equation.3

2) EMBED Equation.3

3) EMBED Equation.3

Получим А(3,-7), В(5,2), С(-1,0).

Пусть искомое уравнение окружности имеет вид

(x - а)²+(y - b)²=r². Для нахождения a, b, r напишем три равенства, подставив в искомое уравнение вместо текущих координат координаты точек А, В, С:

EMBED Equation.DSMT4

Исключая r², приходим к системе уравнений:

EMBED Equation.DSMT4

Или 4а + 18 b = -29 и 8а – 14b=57. Отсюда, а=3,1, b = -2,3. Значение r² находим из уравнения (-1 - а) ²+b² = r², т.е. r²=22,1; уравнение искомой окружности (х-3,1)² +(у+2,3) ² =22,1.

Пример 15.3. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5,0) и В(1,4), если центр её лежит на прямой х +у – 3 = 0.

Решение. Найдём координаты точки М – середины хорды АВ:

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , т.е. середина хорды АВ – точка М(3,2). Центр окружности должен находиться на перпендикуляре, восстановленном из середины хорды, поэтому уравнение этого перпендикуляра можно записать в виде:

у – 2 = k (х -3), где угловой коэффициент k найдётся из условия перпендикулярности с прямой АВ, уравнение которой EMBED Equation.3 или х + у -5 = 0.

Следовательно, угловой коэффициент перпендикуляра k=1, а уравнение этого перпендикуляра у -2 = 1(х -3), или

х – у -1 = 0.

Центр окружности С лежит на пересечении данной прямой с перпендикуляром, т.е. координаты центра определяются из решения системы уравнений х + у – 3 = 0 и х – у -1 = 0. Отсюда х =2, у =1, т.е. С(2,1).

Радиус окружности равен длине отрезка СА, т.е. EMBED Equation.3 . Итак, уравнение окружности

(х-2) ²+ (у -1) ² = 10.