Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.

Ранг этой матрицы = r.

Ранг матрицы не меняют следующие операции:

1. Прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число;

2. Перемену местами строк, столбцов.

Рассмотрим элемент EMBED Equation.3 . Пусть EMBED Equation.3 , тогда умножая первую строку на подходящие числа (для 2-ой ( EMBED Equation.3 ), для 3-ей ( EMBED Equation.3 )) и прибавляя ее ко 2-ой и 3-ей и т. д. строкам. Преобразуем матрицу так, чтобы элементы первого столбца были равны нулю, тогда матрица примет вид:

EMBED Equation.3 .

Рассмотрим матрицу EMBED Equation.3 , образованную элементами 2-й, ..., n-й строк и столбцов. Добьемся того, чтобы EMBED Equation.3 , переставляя местами строки. Если этого сделать нельзя, то матрица уже имеет ступенчатый вид. Проделаем те же операции, что и с матрицей А, и так до тех пор, пока матрица не примет вид (3.1).

Пример 3.1. Найти ранг матрицы

А= EMBED Equation.3 .

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

_{EMBED Equation.3} ~ EMBED Equation.3 ~ EMBED Equation.3 .

1. Умножим каждый элемент 1-ой строки на (-2) и сложим со второй строкой; на (-4) и сложим с третьей строкой.

2.Умножим каждый элемент 2-ой строки на (-3) и сложим с 3-ей строкой.

3. Нетрудно увидеть, что максимальный порядок миноров этой матрицы отличных от нуля равен двум, поскольку минор третьего порядка содержит элементы 3-ей строки, которые равны нулю, следовательно определитель третьего порядка равен нулю, таким образом r(A) = 2.

3.2. Вычисление обратной матрицы

Пусть дана невырожденная матрица n-го порядка

А = EMBED Equation.3 , (3.2)

т. е. ее определитель EMBED Equation.3 не равен нулю. Рассмотрим матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , (3.3)

тогда,

EMBED Equation.3 . (3.4)

Пример 3.2. Дана матрица EMBED Equation.3 . Вычислить обратную матрицу EMBED Equation.3 .

Решение. Вычислим определитель матрицы EMBED Equation.3

Найдем алгебраические дополнения матрицы:

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .

3.3. Матричная форма системы уравнений.

Метод обратной матрицы

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) EMBED Equation.3

_{EMBED Equation.3} (3.5)

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (3.5) в матрицу

А = EMBED Equation.3 (3.6)

Эта матрица состоит из m строк и n столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных Х и матрицу свободных членов В:

Х= EMBED Equation.3 , B= EMBED Equation.3 (3.7)

Тогда систему линейных уравнений (3.5) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен m EMBED Equation.3 n, а размер Х- n EMBED Equation.3 1, значит, произведение этих матриц имеет смысл:

АХ=В. (3.8)

Введем в рассмотрение еще одну матрицу; дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера EMBED Equation.3

_{EMBED Equation.3 .}

Матрица EMBED Equation.3 называется расширенной матрицей системы.

Пусть матрица системы А является невырожденной, т. е существует обратная матрица А^-1. Умножив обе части уравнения (3.8) слева на EMBED Equation.3 получаем решение системы (3.6) в матричной форме:

_{EMBED Equation.3} (4.5)

Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по формуле (3.4).

В случае когда порядок n матрицы А и EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 достаточно велик, вычисление обратной матрицы может быть очень сложным.

Пример 3.3. Найти решение системы уравнений

_{EMBED Equation.3}

Решение. Применим метод обратной матрицы

_{EMBED Equation.3 .}

Определитель системы:

_{EMBED Equation.3} = EMBED Equation.3 =

=1(2 - 20) - 2(8 - 12) + 3(20 - 3) = -18 + 8 + 51 = 41.

Алгебраические дополнения:

_{EMBED Equation.3} EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 _{EMBED Equation.3} EMBED Equation.3 _{EMBED Equation.3} EMBED Equation.3 _{EMBED Equation.3}

_{EMBED Equation.3}

Получили ответ x=1; y=1; z=1.