- •Глава 1. Основные понятия 14
- •Глава 2. Списки 30
- •Глава 3. Стеки и очереди 59
- •Глава 4. Массивы 74
- •Глава 5. Рекурсия 86
- •Глава 6. Деревья 121
- •Глава 7. Сбалансированные деревья 153
- •Глава 8. Деревья решений 180
- •Глава 9. Сортировка 213
- •Введение
- •Целевая аудитория
- •Глава 1. Основные понятия
- •Что такое алгоритмы?
- •Анализ скорости выполнения алгоритмов
- •Пространство — время
- •Оценка с точностью до порядка
- •Поиск сложных частей алгоритма
- •Сложность рекурсивных алгоритмов
- •Многократная рекурсия
- •Косвенная рекурсия
- •Требования рекурсивных алгоритмов к объему памяти
- •Наихудший и усредненный случай
- •Часто встречающиеся функции оценки порядка сложности
- •Логарифмы
- •Реальные условия — насколько быстро?
- •Обращение к файлу подкачки
- •Псевдоуказатели, ссылки на объекты и коллекции
- •Коллекции
- •Вопросы производительности
- •Глава 2. Списки
- •Знакомство со списками
- •Простые списки
- •Коллекции
- •Список переменного размера
- •Класс SimpleList
- •Неупорядоченные списки
- •Связные списки
- •Добавление элементов к связному списку
- •Удаление элементов из связного списка
- •Уничтожение связного списка
- •Сигнальные метки
- •Инкапсуляция связных списков
- •Доступ к ячейкам
- •Разновидности связных списков
- •Циклические связные списки
- •Проблема циклических ссылок
- •Двусвязные списки
- •Другие связные структуры
- •Псевдоуказатели
- •Глава 3. Стеки и очереди
- •Множественные стеки
- •Очереди
- •Циклические очереди
- •Очереди на основе связных списков
- •Применение коллекций в качестве очередей
- •Приоритетные очереди
- •Многопоточные очереди
- •Модель очереди
- •Глава 4. Массивы
- •Треугольные массивы
- •Диагональные элементы
- •Нерегулярные массивы
- •Прямая звезда
- •Нерегулярные связные списки
- •Разреженные массивы
- •Индексирование массива
- •Очень разреженные массивы
- •Глава 5. Рекурсия
- •Что такое рекурсия?
- •Рекурсивное вычисление факториалов
- •Анализ времени выполнения программы
- •Рекурсивное вычисление наибольшего общего делителя
- •Анализ времени выполнения программы
- •Рекурсивное вычисление чисел Фибоначчи
- •Анализ времени выполнения программы
- •Рекурсивное построение кривых Гильберта
- •Анализ времени выполнения программы
- •Рекурсивное построение кривых Серпинского
- •Анализ времени выполнения программы
- •Опасности рекурсии
- •Бесконечная рекурсия
- •Потери памяти
- •Необоснованное применение рекурсии
- •Когда нужно использовать рекурсию
- •Хвостовая рекурсия
- •Нерекурсивное вычисление чисел Фибоначчи
- •Устранение рекурсии в общем случае
- •Нерекурсивное построение кривых Гильберта
- •Нерекурсивное построение кривых Серпинского
- •Глава 6. Деревья
- •Определения
- •Представления деревьев
- •Полные узлы
- •Списки потомков
- •Представление нумерацией связей
- •Полные деревья
- •Обход дерева
- •Упорядоченные деревья
- •Добавление элементов
- •Удаление элементов
- •Обход упорядоченных деревьев
- •Деревья со ссылками
- •Работа с деревьями со ссылками
- •Квадродеревья
- •Изменение max_per_node
- •Использование псевдоуказателей в квадродеревьях
- •Восьмеричные деревья
- •Глава 7. Сбалансированные деревья
- •Сбалансированность дерева
- •Авл‑деревья
- •Вращения авл‑деревьев
- •Правое вращение
- •Левое вращение
- •Вращение влево‑вправо
- •Вращение вправо‑влево
- •Вставка узлов на языке Visual Basic
- •Удаление узла из авл‑дерева
- •Левое вращение
- •Вращение вправо‑влево
- •Другие вращения
- •Реализация удаления узлов на языке Visual Basic
- •Б‑деревья
- •Производительность б‑деревьев
- •Вставка элементов в б‑дерево
- •Удаление элементов из б‑дерева
- •Разновидности б‑деревьев
- •Нисходящие б‑деревья
- •Улучшение производительности б‑деревьев
- •Балансировка для устранения разбиения блоков
- •Добавление свободного пространства
- •Вопросы, связанные с обращением к диску
- •Псевдоуказатели
- •Выбор размера блока
- •Кэширование узлов
- •Глава 8. Деревья решений
- •Поиск в деревьях игры
- •Минимаксный поиск
- •Улучшение поиска в дереве игры
- •Предварительное вычисление начальных ходов
- •Определение важных позиций
- •Эвристики
- •Поиск в других деревьях решений
- •Метод ветвей и границ
- •Эвристики
- •Восхождение на холм
- •Метод наименьшей стоимости
- •Сбалансированная прибыль
- •Случайный поиск
- •Последовательное приближение
- •Момент остановки
- •Локальные оптимумы
- •Алгоритм «отжига»
- •Сравнение эвристик
- •Другие сложные задачи
- •Задача о выполнимости
- •Задача о разбиении
- •Задача поиска Гамильтонова пути
- •Задача коммивояжера
- •Задача о пожарных депо
- •Краткая характеристика сложных задач
- •Глава 9. Сортировка
- •Общие соображения
- •Объединение и сжатие ключей
- •Примеры программ
- •Сортировка выбором
- •Рандомизация
- •Сортировка вставкой
- •Вставка в связных списках
- •Пузырьковая сортировка
- •Быстрая сортировка
- •Сортировка слиянием
- •Пирамидальная сортировка
- •Пирамиды
- •Приоритетные очереди
- •Анализ пирамид
- •Алгоритм пирамидальной сортировки
- •Сортировка подсчетом
- •Блочная сортировка
- •Блочная сортировка с применением связного списка
- •Блочная сортировка на основе массива
- •Глава 10. Поиск
- •Примеры программ
- •Поиск методом полного перебора
- •Поиск в упорядоченных списках
- •Поиск в связных списках
- •Двоичный поиск
- •Интерполяционный поиск
- •Строковые данные
- •Следящий поиск
- •Интерполяционный следящий поиск
- •Глава 11. Хеширование
- •Связывание
- •Преимущества и недостатки связывания
- •Хранение хеш‑таблиц на диске
- •Связывание блоков
- •Удаление элементов
- •Преимущества и недостатки применения блоков
- •Открытая адресация
- •Линейная проверка
- •Первичная кластеризация
- •Упорядоченная линейная проверка
- •Квадратичная проверка
- •Псевдослучайная проверка
- •Удаление элементов
- •Рехеширование
- •Изменение размера хеш‑таблиц
- •Глава 12. Сетевые алгоритмы
- •Определения
- •Представления сети
- •Оперирование узлами и связями
- •Обходы сети
- •Наименьшие остовные деревья
- •Кратчайший маршрут
- •Установка меток
- •Варианты метода установки меток
- •Коррекция меток
- •Варианты метода коррекции меток
- •Другие задачи поиска кратчайшего маршрута
- •Двухточечный кратчайший маршрут
- •Вычисление кратчайшего маршрута для всех пар
- •Штрафы за повороты
- •Небольшое число штрафов за повороты
- •Большое число штрафов за повороты
- •Применения метода поиска кратчайшего маршрута
- •Разбиение на районы
- •Составление плана работ с использованием метода критического пути
- •Планирование коллективной работы
- •Максимальный поток
- •Приложения максимального потока
- •Непересекающиеся пути
- •Распределение работы
- •Глава 13. Объектно‑ориентированные методы
- •Преимущества ооп
- •Инкапсуляция
- •Обеспечение инкапсуляции
- •Полиморфизм
- •Зарезервированное слово Implements
- •Наследование и повторное использование
- •Парадигмы ооп
- •Управляющие объекты
- •Контролирующий объект
- •Итератор
- •Дружественный класс
- •Интерфейс
- •Порождающий объект
- •Единственный объект
- •Преобразование в последовательную форму
- •Парадигма Модель/Вид/Контроллер.
- •Контроллеры
- •Виды/Контроллеры
- •Требования к аппаратному обеспечению
- •Выполнение программ примеров
Пирамидальная сортировка
Пирамидальная сортировка (heapsort) использует специальную структуру, называемую пирамидой (heap), для организации элементов в списке. Пирамиды интересны сами по себе и полезны при реализации приоритетных очередей.
В начале этой главы описываются пирамиды, и объясняется, как вы можете реализовать пирамиды на языке Visual Basic. Затем показано, как использовать пирамиду для построения эффективной приоритетной очереди. Располагая средствами для управления пирамидами и приоритетными очередями, легко реализовать алгоритм пирамидальной сортировки.
Пирамиды
Пирамида (heap) — это полное двоичное дерево, в котором каждый узел не меньше, чем оба его потомка. Это ничего не говорит о взаимосвязи между потомками. Они должны быть меньше родителя, но любой из них может быть больше, чем другой. На рис. 9.6 показана небольшая пирамида.
Поскольку каждый узел не меньше, чем два нижележащих узла, корень дерева — всегда наибольший элемент в пирамиде. Это делает пирамиды удобной структурой данных для реализации приоритетных очередей. Если вам нужен элемент очереди с самым высоким приоритетом, он всегда находится на вершине пирамиды.
=========247
Рис. 9.6. Пирамида
Поскольку пирамида является полным двоичным деревом, вы можете использовать методы, изложенные в 6 главе, для сохранения пирамиды в массиве. Поместите корневой узел в 1 позицию массива. Потомки узла I размещаются в позициях 2 * I и 2 * I + 1. Рис. 9.7 показывает пирамиду с рис. 9.6, записанную в виде массива.
Чтобы понять, как устроена пирамида, заметим, что пирамида создана из пирамид меньшего размера. Поддерево, начинающееся с любого узла пирамиды, также является пирамидой. Например, в пирамиде, показанной на рис. 9.8, поддерево с корнем в узле 13 также является пирамидой.
Используя этот факт, можно построить пирамиду снизу вверх. Вначале, разместим элементы в виде дерева, как показано на рис. 9.9. Затем организуем пирамиды из небольших поддеревьев внизу дерева. Поскольку в них всего по три узла, сделать это достаточно просто. Сравним вершину с каждым из потомков. Если один из потомков больше, он меняется местами с родителем. Если оба потомка больше, больший потомок меняется местами с родителем. Этот шаг повторяется до тех пор, пока все поддеревья, имеющие по 3 узла, не будут преобразованы в пирамиды, как показано на рис. 9.10.
Теперь объединим маленькие пирамиды для создания более крупных пирамид. Соединим на рис. 9.10 маленькие пирамиды с вершинами 15 и 5 и элемент, создав пирамиду большего размера. Сравним новую вершину 7 с каждым из потомков. Если один из потомков больше, поменяем его местами с вершиной. В нашем случае 15 больше, чем 7 и 4, поэтому узел 15 меняется местами с узлом 7.
Поскольку правое поддерево, начинающееся с узла 4, не изменялось, это поддерево по‑прежнему является пирамидой. Левое же поддерево изменилось. Чтобы определить, является ли оно все еще пирамидой, сравним его новую вершину 7 с потомками 13 и 12. Поскольку 13 больше, чем 7 и 12, необходимо поменять местами узлы 7 и 13.
@Рис. 9.7. Представление пирамиды в виде массива
========248
@Рис. 9.8. Пирамида образуется из меньших пирамид
@Рис. 9.9. Неупорядоченный список в полном дереве
@Рис. 9.10. Поддеревья второго уровня являются пирамидами
=========249
@Рис. 9.11. Объединение пирамид в пирамиду большего размера
Если поддерево выше, можно продолжить перемещение узла 7 вниз по поддереву. В конце концов, либо будет достигнута точка, в которой узел 7 больше обоих своих потомков, либо алгоритм достигнет основания дерева. На рис. 9.11 показано дерево после преобразования этого поддерева в пирамиду.
Продолжим объединение пирамид, образуя пирамиды большего размера до тех пор, пока все элементы не образуют одну большую пирамиду, такую как на рис. 9.6.
Следующий код перемещает элемент из положения List(min) вниз по пирамиде. Если поддеревья ниже List(min) являются пирамидами, то процедура сливает пирамиды, образуя пирамиду большего размера.
Private Sub HeapPushDown(List() s Long, ByVal min As Long, _
ByVal max As Long)
Dim tmp As Long
Dim j As Long
tmp = List(min)
Do
j = 2 * min
If j <= max Then
‘ Разместить в j указатель на большего потомка.
If j < max Then
If List(j + 1) > List(j) Then _
j = j + 1
End If
If List(j) > tmp Then
‘ Потомок больше. Поменять его местами с родителем.
List(min) = List(j)
‘ Перемещение этого потомка вниз.
min = j
Else
‘ Родитель больше. Процедура закончена.
Exit Do
End If
Else
Exit Do
End If
Loop
List(min) = tmp
End Sub
Полный алгоритм, использующий процедуру HeapPushDown для создания пирамиды из дерева элементов, необычайно прост:
Private Sub BuildHeap()
Dim i As Integer
For i = (max + min) \ 2 To min Step -1
HeapPushDown list(), i, max
Next i
End Sub