Планирование коллективной работы

Предположим, что требуется набрать несколько сотрудников для ответов на телефонные звонки, при этом каждый из них будет занят не весь день. При этом нужно, чтобы суммарная зарплата была наименьшей, и нанятый коллектив сотрудников отвечал на звонки с 9 утра до 5 вечера. В табл. 12.2 приведены рабочие часы сотрудников, и их почасовая оплата.

@Рис. 12.18. Сеть задач сборки дождевальной установки

======342

@Таблица 12.2. Рабочие часы сотрудников и их почасовая оплата

Для построения соответствующей сети, создадим один узел для каждого рабочего часа. Соединим эти узлы связями, каждая из которых соответствует рабочим часам какого‑либо сотрудника. Если сотрудник может работать с 9 до 11, нарисуем связь между узлом 9:00 и узлом 11:00, и присвоим этой связи цену, равную зарплате, получаемой данным сотрудником за соответствующее время. Если сотрудник получает 6,5 долларов в час, и отрезок времени составляет два часа, то цена связи равна 13 долларам. На рис. 12.19 показана сеть, соответствующая данным из табл. 12.2.

Кратчайший маршрут из первого узла в последний позволяет набрать коллектив сотрудников с наименьшей суммарной зарплатой. Каждая связь в пути соответствует работе сотрудника в определенный промежуток времени. В данном случае кратчайший маршрут из узла 9:00 в узел 5:00 проходит через узлы 11:00, 12:00 и 3:00. Этому соответствует следующий график работы: сотрудник A работает с 9:00 до 11:00, сотрудник D работает с 11:00 до 12:00, затем сотрудник A снова работает с 12:00 до 3:00 и сотрудник E работает с 3:00 до 5:00. Полная зарплата всех сотрудников при таком графике составляет 52,15 доллара.

@Рис. 12.19. Сеть графика работы коллектива

======343

Максимальный поток

Во многих сетях связи имеют кроме цены, еще и пропускную способность (capacity). Через каждый узел сети может проходить поток (flow), который не превышает ее пропускной способности. Например, по улицам может проехать только определенной число машин. Сеть с заданными пропускными способностями ее связей называется нагруженной сетью (capacitated network). Если задана нагруженная сеть, задача о максимальном потоке заключается в определении наибольшего возможного потока через сеть из заданного источника (source) в заданный сток (sink).

На рис. 12.20 показана небольшая нагруженная сеть. Числа рядом со связями в этой сети — это не цена связи, а ее пропускная способность. В этом примере максимальный поток, равный 4, получается, если две единицы потока направляются по пути A, B, E,F и еще две — по пути A, C, D, F.

Описанный здесь алгоритм начинается с того, что поток во всех связях равен нулю и затем алгоритм постепенно увеличивает поток, пытаясь улучшить найденное решение. Алгоритм завершает работу, если нельзя улучшить имеющееся решение.

Для поиска путей способов увеличения полного потока, алгоритм проверяет остаточную пропускную способность (residual capacity) связей. Остаточная пропускная способность связи между узлами I и J равна максимальному дополнительному потоку, который можно направить из узла I в узел J, используя связь между I и J и связь между J и I. Этот суммарный поток может включать дополнительный поток по связи I‑J, если в этой связи есть резерв пропускной способности, или исключать часть потока из связи J‑I, если по этой связи идет поток.

Например, предположим, что в сети, соединяющей узлы A и C на рис. 12.20, существует поток, равный 2. Так как пропускная способность этой связи равна 3, то к этой связи можно добавить единицу потока, поэтому остаточная пропускная способность этой связи равна 1. Хотя сеть, показанная на рис. 12.20 не имеет связи C‑A, для этой связи существует остаточная пропускная способность. В данном примере, так как по связи A‑C идет поток, равный 2, то можно удалить до двух единиц этого потока. При этом суммарный поток из узла C в узел A увеличился бы на 2, поэтому остаточная пропускная способность связи C‑A равна 2.

@Рис. 12.20. Нагруженная сеть

========344

@Рис. 12.21. Потоки в сети

Сеть, состоящая из всех связей с положительной остаточной пропускной способностью, называется остаточной сетью (residual network). На рис. 12.21 показана сеть с рис. 12.20, каждой связи в которой присвоен поток. Для каждой связи, первое число равно потоку через связь, а второе — ее пропускной способности. Надпись «1/2», например, означает, что поток через связь равен 1, и ее пропускная способность равна 2. Связи, поток через которые больше нуля, нарисованы жирными линиями.

На рис. 12.22 показана остаточная сеть, соответствующая потокам на рис. 12.21. Нарисованы только связи, которые действительно могут иметь остаточную пропускную способность. Например, между узлами A и D не нарисовано ни одной связи. Исходная сеть не содержит связи A‑D или D‑A, поэтому эти связи всегда будут иметь нулевую остаточную пропускную способность.

Одно из свойств остаточных сетей состоит в том, что любой путь, использующий связи с остаточной пропускной способностью больше нуля, который связывает источник со стоком, дает способ увеличения потока в сети. Так как этот путь дает способ увеличения или расширения потока в сети, он называется расширяющим путем (augmenting path). На рис. 12.23 показана остаточная сеть с рис. 12.22 с расширяющим путем, нарисованным жирной линией.

Чтобы обновить решение, используя расширяющий путь, найдем наименьшую остаточную пропускную способность в пути. Затем скорректируем потоки в пути в соответствии с этим значением. Например, на рис. 12.23 наименьшая остаточная пропускная способность сетей в расширяющем пути равна 2. Чтобы обновить потоки в сети, к любой связи I‑J на пути добавляется поток 2, а из всех обратных им связей J‑I вычитается поток 2.

@Рис. 12.22. Остаточная сеть

========345

@Рис. 12.23. Расширяющий путь через остаточную сеть

Вместо того, чтобы корректировать потоки, и затем перестраивать остаточную сеть, проще просто скорректировать остаточную сеть. Затем после завершения работы алгоритма можно использовать результат для вычисления потоков для связей в исходной сети.

Чтобы скорректировать остаточную сеть в этом примере, проследуем по расширяющему пути. Вычтем 2 из остаточной пропускной способности всех связей I‑J вдоль пути, и добавим 2 к остаточной пропускной способности соответствующей связи J‑I. На рис. 12.24 показана скорректированная остаточная сеть для этого примера.

Если больше нельзя найти ни одного расширяющего пути, то можно использовать остаточную сеть для вычисления потоков в исходной сети. Для каждой связи между узлами I и J, если остаточный поток между узлами I и J меньше, чем пропускная способность связи, то поток должен равняться пропускной способности минус остаточный поток. В противном случае поток должен быть равен нулю.

Например, на рис. 12.24 остаточный поток из узла A в узел C равен 1 и пропускная способность связи A‑C равна 3. Так как 1 меньше 3, то поток через узел будет равен 3 - 1 = 2. На рис. 12.25 показаны потоки в сети, соответствующие остаточной сети на рис. 12.24.

@Рис. 12.24. Скорректированная остаточная сеть

========346

@Рис. 12.25. Максимальные потоки

Полученный алгоритм еще не содержит метода для поиска расширяющих путей в остаточной сети. Один из возможных методов аналогичен методу коррекции меток для алгоритма кратчайшего маршрута. Вначале поместим узел‑источник в список возможных узлов. Затем, если список возможных узлов не пуст, будем удалять из него по одному узлу. Проверим все соседние узлы, соединенные с выбранным узлом по связи, остаточная пропускная способность которой больше нуля. Если соседний узел еще не был помещен в список возможных узлов, добавить его в список. Продолжить этот процесс до тех пор, пока список возможных узлов не опустеет.

Этот метод имеет два отличия от метода поиска кратчайшего маршрута коррекцией меток. Во‑первых, этот метод не прослеживает связи с нулевой остаточной пропускной способностью. Алгоритм же кратчайшего маршрута проверяет все пути, независимо от их цены.

Во‑вторых, этот алгоритм проверяет все узлы не больше одного раза. Алгоритм поиска кратчайшего маршрута коррекцией меток, будет обновлять узлы и помещать их снова в список возможных узлов, если он позднее найдет более короткий путь от корня к этому узлу. При поиске расширяющего пути нет необходимости проверять его длину, поэтому не нужно обновлять пути и помещать узлы назад в список возможных узлов.

Следующий код демонстрирует, как можно вычислять максимальные потоки в программе на Visual Basic. Этот код предназначен для работы с неориентированными сетями, похожими на те, которые использовались в других программах примеров, описанных в этой главе. После завершения работы алгоритма он присваивает связи цену, равную потоку через нее, взятому со знаком минус, если поток течет в обратном направлении. Другими словами, если сеть содержит объект, представляющий связь I‑J, а алгоритм определяет, что поток должен течь в направлении связи J‑I, то потоку через связь I‑J присваивается значение, равное потоку, который должен был бы течь через связь J‑I, взятому со знаком минус. Это позволяет программе определять направление потока, используя существующую структуру узлов.

=======347

Private Sub FindMaxFlows()

Dim candidates As Collection

Dim Residual() As Integer

Dim num_nodes As Integer

Dim id1 As Integer

Dim id2 As Integer

Dim node As FlowNode

Dim to_node As FlowNode

Dim from_node As FlowNode

Dim link As FlowLink

Dim min_residual As Integer

If SourceNode Is Nothing Or SinkNode Is Nothing _

Then Exit Sub

' Задать размер массива остаточной пропускной способности.

num_nodes = Nodes.Count

ReDim Residual(1 To num_nodes, 1 To num_nodes)

' Первоначально значения остаточной пропускной способности

' равны значениям пропускной способности.

For Each node In Nodes

id1 = node.Id

For Each link In node.Links

If link.Node1 Is node Then

Set to_node = link.Node2

Else

Set to_node = link.Node1

End If

id2 = to_node.Id

Residual(id1, id2) = link.Capacity

Next link

Next node

' Повторять до тех пор, пока больше

' не найдется расширяющих путей.

Do

' Найти расширяющий путь в остаточной сети.

' Сбросить значения NodeStatus и InLink всех узлов.

For Each node In Nodes

node.NodeStatus = NOT_IN_LIST

Set node.InLink = Nothing

Next node

' Начать с пустого списка возможных узлов.

Set candidates = New Collection

' Поместить источник в список возможных узлов.

candidates.Add SourceNode

SourceNode.NodeStatus = NOW_IN_LIST

' Продолжать, пока список возможных узлов не опустеет.

Do While candidates.Count > 0

Set node = candidates(1)

candidates.Remove 1

node.NodeStatus = WAS_IN_LIST

id1 = node.Id

' Проверить выходящие из узла связи.

For Each link In node.Links

If link.Node1 Is node Then

Set to_node = link.Node2

Else

Set to_node = link.Node1

End If

id2 = to_node.Id

' Проверить, что residual > 0, и этот узел

' никогда не был в списке.

If Residual(id1, id2) > 0 And _

to_node.NodeStatus = NOT_IN_LIST _

Then

' Добавить узел в список.

candidates.Add to_node

to_node.NodeStatus = NOW_IN_LIST

Set to_node.InLink = link

End If

Next link

' Остановиться, если помечен узел‑сток.

If Not (SinkNode.InLink Is Nothing) Then _

Exit Do

Loop

' Остановиться, если расширяющий путь не найден.

If SinkNode.InLink Is Nothing Then Exit Do

' Найти наименьшую остаточную пропускную способность

' вдоль расширяющего пути.

min_residual = INFINITY

Set node = SinkNode

Do

If node Is SourceNode Then Exit Do

id2 = node.Id

Set link = node.InLink

If link.Node1 Is node Then

Set from_node = link.Node2

Else

Set from_node = link.Node1

End If

id1 = from_node.Id

If min_residual > Residual(id1, id2) Then _

min_residual = Residual(id1, id2)

Set node = from_node

Loop

' Обновить остаточные пропускные способности,

' используя расширяющий путь.

Set node = SinkNode

Do

If node Is SourceNode Then Exit Do

id2 = node.Id

Set link = node.InLink

If link.Node1 Is node Then

Set from_node = link.Node2

Else

Set from_node = link.Node1

End If

id1 = from_node.Id

Residual(id1, id2) = Residual(id1, id2) _

- min_residual

Residual(id2, id1) = Residual(id2, id1) _

+ min_residual

Set node = from_node

Loop

Loop ' Повторять, пока больше не останется расширяющих путей.

' Вычислить потоки в остаточной сети.

For Each link In Links

id1 = link.Node1.Id

id2 = link.Node2.Id

If link.Capacity > Residual(id1, id2) Then

link.Flow = link.Capacity - Residual(id1, id2)

Else

' Отрицательные значения соответствуют

' обратному направлению движения.

link.Flow = Residual(id2, id1) - link.Capacity

End If

Next link

' Найти полный поток.

TotalFlow = 0

For Each link In SourceNode.Links

TotalFlow = TotalFlow + Abs(link.Flow)

Next link

End Sub

=======348-350

Программа Flow использует метод поиска расширяющего пути для нахождения максимального потока в сети. Она похожа на остальные программы в этой главе. Если вы не добавляете или не удаляете узел или связь, вы можете выбрать источник при помощи левой кнопки мыши, а затем выбрать сток при помощи правой кнопки мыши. После выбора источника и стока программа вычисляет и выводит на экран максимальный поток. На рис. 12.26 показано окно программы, на котором изображены потоки в небольшой сети.