Глава 8. Деревья решений

Многие сложные реальные задачи можно смоделировать при помощи деревьев решений (decision trees). Каждый узел дерева представляет один шаг решения задачи. Каждая ветвь в дереве представляет решение, которое ведет к более полному решению. Листья представляют собой окончательное решение. Цель заключается в том, чтобы найти «наилучший» путь от корня к листу при выполнении определенных условий. Эти условия и значение понятия «наилучший» для пути зависит от задачи.

Деревья решений обычно имеют громадный размер. Дерево решений для игры в крестики‑нолики содержит более полумиллиона узлов. Эта игра довольно проста, и многие реальные задачи намного более сложны. Соответствующие им деревья решений могли бы содержать больше узлов, чем число атомов во вселенной.

В этой главе обсуждаются методы, которые можно использовать для поиска в таких огромных деревьях. Во‑первых, в ней вначале рассматриваются деревья игры (game trees). На примере игры в крестики‑нолики обсуждаются способы поиска в деревьях игры для нахождения наилучшего возможного хода.

В следующих разделах описываются способы поиска в более общих деревьях решений. Для самых маленьких деревьев, можно использовать метод полного перебора (exhaustive searching) всех возможных решений. Для деревьев большего размера, можно использовать метод ветвей и границ (branch‑and‑bound technique) позволяет найти наилучшее решение без необходимости выполнять поиск по всему дереву.

Для очень больших деревьев нужно использовать эвристический метод или эвристику (heuristic). При этом полученное решение может быть не наилучшим из возможных решений, но оно, тем не менее, лежит достаточно близко к наилучшему, чтобы его можно было использовать. Используя эвристики, можно проводить поиск практически в любых деревьях решений.

В конце этой главы обсуждаются некоторые очень сложные задачи, которые вы можете попытаться решить при помощи метода ветвей и границ или эвристического метода. Многие из этих задач имеют важные применения, и нахождение хороших решений для них крайне необходимо.

Поиск в деревьях игры

Стратегию настольных игр, таких как шахматы, шашки, или крестики‑нолики можно смоделировать при помощи деревьев игры. Если в какой то момент игры существует 30 возможных ходов, то соответствующий узел в дереве игры будет иметь 30 ветвей.

========187

Например, для игры в крестики‑нолики корневой узел соответствует начальной позиции, при которой доска пуста. Первый игрок может поместить крестик в любую из девяти клеток доски. Каждому из этих девяти возможных ходов соответствует выходящая из корня ветвь. Девять узлов на конце эти ветвей соответствуют девяти различным позициям после первого хода игрока.

После того, как первый игрок сделал ход, второй может поставить нолик в любую из оставшихся восьми клеток. Каждому из этих ходов соответствует ветвь, выходящая из узла, соответствующего текущей позиции игры. На рис. 8.1 показан небольшой фрагмент дерева игры в крестики‑нолики.

Как можно увидеть на рис. 8.1, дерево игры в крестики‑нолики растет очень быстро. Если оно продолжит расти таким образом, так что каждый следующий узел в дереве будет иметь на одну ветвь меньше, чем его родитель, то дерево целиком будет иметь 9 * 8 * 7 … * 1 = 362.880 листьев. В дереве будет 362.880 возможных путей, соответствующих 362.800 возможным играм.

В действительности многие из узлов дерева будут отсутствовать, так как соответствующие им ходы запрещены правилами игры. Если игрок, ходивший первым, за три своих хода поставит крестики в верхней левой, верхней средней и верхней правой клетках, то он выиграет и игра закончится. Узел, соответствующий этой позиции, не будет иметь потомков, так как игра завершается на этом шаге. Эта игра показана на рис. 8.2.

После удаления всех невозможных узлов в дереве остается около четверти миллиона листьев. Это все еще очень большое дерево, и поиск его методом полного перебора занимает достаточно много времени. Для более сложных игр, таких как шашки, шахматы или го, деревья игры имеют огромный размер. Если бы во время каждого хода в шахматах игрок имел 16 возможных вариантов, то дерево игры имело бы более триллиона узлов после пяти ходов каждого из игроков. В конце этой главы обсуждается поиск в таких огромных деревьях игры, а следующий раздел посвящен более простому примеру игры в крестики‑нолики.

@Рис. 8.1. Фрагмент дерева игры в крестики‑нолики

========188

@Рис. 8.2. Быстрое окончание игры