Глава 6. Деревья

Во 2 главе приводились способы создания динамических связных структур, таких, как изображенные на рис 6.1. Такие структуры данных называются графами (graphs). В 12 главе алгоритмы работы с графами и сетями обсуждаются более подробно. В этой главе рассматриваются графы особого типа, которые называются деревьями (trees).

В начале этой главы приводится определение дерева и разъясняются некоторые термины. Затем в ней описываются некоторые методы реализации деревьев различных типов на языке Visual Basic. В последующих разделах рассматривается несколько алгоритмов обхода для деревьев, записанных в этих разных форматах. Глава заканчивается обсуждением некоторых специальных типов деревьев, включая упорядоченные деревья (sorted trees), деревья со ссылками(threaded trees), боры (tries) и квадродеревья (quadtrees).

В 7 и 8 главе обсуждаются более сложные темы — сбалансированные деревья и деревья решений.

@Рис. 6.1. Графы

=====117

Определения

Можно рекурсивно определить дерево как:

• Пустую структуру или

• Узел, называемый корнем (node) дерева, связанный с нулем или более поддеревьев (subtrees).

На рис. 6.2 показано дерево. Корневой узел A связан с тремя поддеревьями, начинающимися в узлах B, C и D. Эти узлы связаны с поддеревьями с корнями E, F и G, и эти узлы, в свою очередь связаны с поддеревьями с корнями H, I и J.

Терминология деревьев представляет собой смесь терминов, позаимствованных из ботаники и генеалогии. Из ботаники пришли термины, такие как узел (node), определяемый как точка, в которой может начинаться ветвление, ветвь (branch), определяемая как связь между двумя узлами, и лист (leaf) — узел, из которого не выходят другие ветви.

Из генеалогии пришли термины, которые описывают родство. Если один узел находится непосредственно над другим, верхний узел называется родителем (parent), а нижний дочерним узлом (child). Узлы на пути вверх от узла до корня называются предками (ancestors) узла. Например, на рис. 6.2 узлы E, B и A — это все предки узла I.

Узлы, которые находятся ниже какого‑либо узла дерева, называются потомками (descendants) этого узла. Узлы E, H, I и J на рис. 6.2 — это все потомки узла B.

Иногда узлы, имеющие одного родителя, называются узлами‑братьями или узлами‑сестрами (sibling nodes).

Существует еще несколько терминов, которые не пришли из ботаники или генеалогии. Внутренним узлом (internal node) называется узел, который не является листом. Порядком узла (node degree) называется число его дочерних узлов. Порядок дерева — это наибольший порядок его узлов. Дерево на рис. 6.2 — третьего порядка, потому что узлы с наибольшим порядком, узлы A и E, имеют по 3 дочерних узла.

Глубина (depth) дерева равна числу его предков плюс 1. На рис. 6.2 глубина узла E равна 3. Глубиной (depth) или высотой (height) дерева называется наибольшая глубина его узлов. Глубина дерева на рис. 6.2 равна 4.

Дерево 2 порядка называется двоичным деревом (binary tree). Деревья третьего порядка иногда называются троичными (ternary) деревьями. Более того, деревья порядка N иногда называются N‑ичными (N‑ary) деревьями.

@Рис. 6.2. Дерево

======118

Дерево порядка 12, например, называется 12‑ричным (12‑ary) деревом, а не додекадеричным (dodecadary) деревом. Некоторые избегают употребления лишних терминов и просто говорят «деревья 12 порядка».

Рис. 6.3 иллюстрирует некоторые из этих терминов.