Приложения максимального потока

Вычисления максимального потока используются во многих приложениях. Хотя для многих сетей может быть важно знать максимальный поток, этот метод часто используется для получения результатов, которые на первый взгляд имеют отдаленное отношение к пропускной способности сети.

Непересекающиеся пути

Большие сети связи должны обладать избыточностью (redundancy). Для заданной сети, например такой, как на рис. 12.27, может потребоваться найти число непересекающихся путей из источника к стоку. При этом, если между двумя узлами сети есть множество непересекающихся путей, все связи в которых различны, то соединение между этими узлами останется, даже если несколько связей в сети будут разорваны.

Можно определить число различных путей, используя метод вычисления максимального потока. Создадим сеть с узлами и связями, соответствующими узлам и связям в коммуникационной сети. Присвоим каждой связи единичную пропускную способность.

@Рис. 12.26. Программа Flow

=====351

@Рис. 12.27. Сеть коммуникаций

Затем вычислим максимальный поток в сети. Максимальный поток будет равен числу различных путей от источника к стоку. Так как каждая связь может нести единичный поток, то ни один из путей, использованных при вычислении максимального потока, не может иметь общей связи.

При более строгом определении избыточности можно потребовать, чтобы различные пути не имели ни общих связей, ни общих узлов. Немного изменив предыдущую сеть, можно использовать вычисление максимального потока для решения и этой задачи.

Разделим каждый узел за исключением источника и стока на два узла, соединенных связью единичной пропускной способности. Соединим первый из полученных узлов со всеми связями, входящими в исходный узел. Все связи, выходящие из исходного узла, присоединим ко второму полученному после разбиения узлу. На рис. 12.28 показана сеть с рис. 12.27, узлы на которой разбиты таким образом. Теперь найдем максимальный поток для этой сети.

Если путь, использованный для вычисления максимального потока, проходит через узел, то он может использовать связь, которая соединяет два получившихся после разбиения узла. Так как эта связь имеет единичную пропускную способность, никакие два пути, полученные при вычислении максимального потока, не могут пройти по этой связи между узлами, поэтому в исходной сети никакие два пути не могут использовать один и тот же узел.

@Рис. 12.28. Коммуникационная сеть после преобразования

======352

@Рис. 12.29. Сеть распределения работы

Распределение работы

Предположим, что имеется группа сотрудников, каждый из которых обладает определенными навыками. Предположим также, что существует ряд заданий, которые требуют привлечения сотрудника, обладающего заданным набором навыков. Задача распределения работы (work assignment) состоит в том, чтобы распределить работу между сотрудниками так, чтобы каждое задание выполнял сотрудник, имеющий соответствующие навыки.

Чтобы свести эту задачу к вычислению максимального потока, создадим сеть с двумя столбцами узлов. Каждый узел в левом столбце представляет одного сотрудника. Каждый узел в правом столбце представляет одно задание.

Затем сравним навыки каждого сотрудника с навыками, необходимыми для выполнения каждого из заданий. Создадим связь между каждым сотрудником и каждым заданием, которое он способен выполнить, и присвоим всем связям единичную пропускную способность.

Создадим узел‑источник и соединим его с каждым из сотрудников связью единичной пропускной способности. Затем создадим узел‑сток и соединим с ним каждое задание, снова при помощи связей с единичной пропускной способностью. На рис. 12.29 показана соответствующая сеть для задачи распределения работы с четырьмя сотрудниками и четырьмя заданиями.

Теперь найдем максимальный поток из источника в сток. Каждая единица потока должна пройти через один узел сотрудника и один узел задания. Этот поток представляет распределение работы для этого сотрудника.

@Рис. 12.30. Программа Work

=======353

Если сотрудники обладают соответствующими навыками для выполнения всех заданий, то вычисления максимального потока распределят их все. Если невозможно выполнить все задания, то в процессе вычисления максимального потока работа будет распределена так, чтобы было выполнено максимально возможное число заданий.

Программа Work использует этот алгоритм для распределения работы между сотрудниками. Введите фамилии сотрудников и их навыки в текстовом поле слева, а задания, которые требуется выполнить и требующиеся для них навыки в текстовом поле посередине. После того, как вы нажмете на кнопку Go (Начать), программа распределит работу между сотрудниками, используя для этого сеть максимального потока. На рис. 12.30 показано окно программы с полученным распределением работы.

Резюме

Некоторые сетевые алгоритмы можно применить непосредственно к сетеподобным объектам. Например, можно использовать алгоритм поиска кратчайшего маршрута для нахождения наилучшего пути в уличной сети. Для определения наименьшей стоимости построения сети связи или соединения городов железными дорогами можно использовать минимальное остовное дерево.

Многие другие сетевые алгоритм находят менее очевидные применения. Например, можно использовать алгоритмы поиска кратчайшего маршрута для разбиения на районы, составления плана работ методом кратчайшего пути, или графика коллективной работы. Алгоритмы вычисления максимального потока можно использовать для распределения работы. Эти менее очевидные применения сетевых алгоритмов обычно оказываются более интересными и перспективными.

======354