Вычисление кратчайшего маршрута для всех пар

В некоторых приложениях может потребоваться быстро найти кратчайший маршрут между всеми парами узлов в сети. Если нужно вычислить большую часть из N² возможных путей, может быть быстрее вычислить все возможные пути вместо того, чтобы находить только те, которые нужны.

Можно записать кратчайшие маршруты, используя два двумерных массива, Dist и InLinks. В ячейке Dist(I, J) находится кратчайший маршрут из узла I в узел J, а в ячейке InLinks(I, J) — связь, которая ведет к узлу J в кратчайшем пути из узла I в узел J. Эти значения аналогичны значениям Dist и InLink в классе узла в предыдущем алгоритме.

Один из способов найти все кратчайшие маршруты заключается в том, чтобы построить деревья кратчайшего маршрута с корнем в каждом из узлов сети при помощи одного из предыдущих алгоритмов, и затем сохранить результаты в массивах Dists и InLinks.

========335

Другой метод вычисления всех кратчайших маршрутов последовательно строит пути, используя все больше и больше узлов. Вначале алгоритм находит все кратчайшие маршруты, которые используют только первый узел и узлы на концах пути. Другими словами, для узлов J и K алгоритм находит кратчайший маршрут между этими узлами, который использует только узел с номером 1 и узлы J и K, если такой путь существует

Затем алгоритм находит все кратчайшие маршруты, которые используют только два первых узла. Затем он строит пути, используя первые три узла, первые четыре узла, и так далее до тех пор, пока не будут построены все кратчайшие маршруты, используя все узлы. В этот момент, поскольку кратчайшие маршруты могут использовать любой узел, алгоритм найдет все кратчайшие маршруты в сети.

Заметьте, что кратчайший маршрут между узлами J и K, использующий только первые I узлов, включает узел I, только если Dist(J, K) > Dist(J, I) + Dist(I, K). Иначе кратчайшим маршрутом будет предыдущий кратчайший маршрут, который использовал только первые I - 1 узлов. Это означает, что когда алгоритм рассматривает узел I, требуется только проверить выполнение условия Dist(J, K) > Dist(J, I) + Dist(I, K). Если это условие выполняется, алгоритм обновляет кратчайший маршрут из узла J в узел K. Иначе старый кратчайший маршрут между этими двумя узлами остался бы таковым.

Штрафы за повороты

В некоторых сетях, в особенности сетях улиц, бывает полезно добавить штраф и запреты на повороты (turn penalties) В сети улиц автомобиль должен замедлить движение перед тем, как выполнить поворот. Поворот налево может занимать больше времени, чем поворот направо или движение прямо. Некоторые повороты могут быть запрещены или невозможны из‑за наличия разделительной полосы. Эти аспекты можно учесть, вводя в сеть штрафы за повороты.

Небольшое число штрафов за повороты

Часто важны только некоторые штрафы за повороты. Может понадобиться предотвратить выполнение запрещенных или невозможных поворотов и присвоить штрафы за повороты лишь на нескольких ключевых перекрестках, не определяя штрафы для всех перекрестков в сети. В этом случае можно разбить каждый узел, для которого заданы штрафы, на несколько узлов, которые будут неявно учитывать штрафы.

Предположим, что требуется добавить один штраф за поворот на перекрестке налево и другой штраф за поворот направо. На рис. 12.12 показан перекресток, на котором требуется применить эти штрафы. Число рядом с каждой связью соответствует ее цене. Требуется применить штрафы за вход в узел A по связи L_1, и затем выход из него по связям L₂ или L₃.

Для применения штрафов к узлу A, разобьем этот узел на два узла, по одному для каждой из покидающих его связей. В данном примере, из узла A выходят две связи, поэтому узел A разбивается на два узла A₁ и A₂, и связи, выходящие из узла A, заменяются соответствующими связями, выходящими из полученных узлов. Можно представить, что каждый из двух образовавшихся узлов соответствует входу в узел A и повороту в сторону соответствующей связи.

======336

@Рис. 12.12. Перекресток

Затем связь L₁, входящая в узел A, заменяется на две связи, входящие в каждый из двух узлов A₁ и A₂. Цена этих связей равна цене исходной связи L₁ плюс штрафу за поворот в соответствующем направлении. На рис. 12.13 показан перекресток, на котором введены штрафы за поворот. На этом рисунке штраф за поворот налево из узла A равен 5, а за поворот направо —2.

Помещая информацию о штрафах непосредственно в конфигурацию сети, мы избегаем необходимости модифицировать алгоритмы поиска кратчайшего маршрута. Эти алгоритмы будут находить правильные кратчайшие маршруты с учетом штрафов за повороты.

При этом придется все же слегка изменить программы, чтобы учесть разбиение узлов на несколько частей. Предположим, что требуется найти кратчайший маршрут между узлами I и J, но узел I оказался разбит на несколько узлов. Полагая, что можно покинуть узел I по любой связи, можно создать ложный узел и использовать его в качестве корня дерева кратчайшего маршрута. Соединим этот узел связями с нулевой ценой с каждым из узлов, получившихся после разбиения узла I. Тогда, если построить дерево кратчайшего маршрута с корнем в ложном узле, то при этом будут найдены все кратчайшие маршруты, содержащие любой из этих узлов. На рис. 12.14 показан перекресток с рис. 12.13, связанный с ложным корневым узлом.

@Рис. 12.13. Перекресток со штрафами за повороты

=======337

@Рис. 12.14. Перекресток, связанный с ложным корнем

Обрабатывать случай поиска пути к узлу, который был разбит на несколько узлов, проще. Если требуется найти кратчайший маршрут между узлами I и J, и узел J был разбит на несколько узлов, то вначале, как обычно, нужно найти дерево кратчайшего маршрута с корнем в узле I. Затем проверяются все узлы, на которые был разбит узел J и находится ближайший из них к корню дерева. Путь к этому узлу и есть кратчайший маршрут к исходному узлу J.