Задача о разбиении

Если задано множество элементов со значениями X₁, X₂, … , X_N, то существует ли способ разбить его на два подмножества, так чтобы сумма значений всех элементов в каждом из подмножеств была одинаковой? Например, если элементы имеют значения 3, 4, 5 и 6, то их можно разбить на два подмножества {3, 6} и {4, 5}, сумма значений элементов в каждом из которых равна 9.

Чтобы смоделировать эту задачу при помощи дерева, предположим, что ветвям соответствует помещение элемента в одно из двух подмножеств. Левая ветвь, выходящая из корневого узла, соответствует помещению первого элемента в первое подмножество, а правая ветвь — во второе подмножество.

Если всего существует N элементов, то дерево решение будет представлять собой двоичное дерево высотой N + 1. Оно будет содержать 2^N листьев и 2^N+1 узлов. Каждый лист соответствует одному из вариантов размещения элементов в двух подмножествах.

При решении этой задачи можно применить метод ветвей и границ. При рассмотрении частичных решений задачи можно отслеживать, насколько различаются суммарные значения элементов в двух подмножествах. Если в какой‑то момент суммарное значение элементов для одного из подмножеств настолько меньше, чем для другого, что добавление всех оставшихся элементов не позволяет изменить это соотношение, то нет смысла продолжать движение вниз по этой ветви.

Так же, как и в случае с задачей о выполнимости, для задачи о разбиении (partition problem) нельзя получить приближенное решение. В результате всегда должно получиться два подмножества, суммарное значение элементов в которых будет или не будет одинаковым. Это означает, что для решения этой задачи неприменимы эвристики, которые использовались для решения задачи о формировании портфеля.

Задачу о разбиении можно обобщить следующим образом: если имеется множество элементов со значениями X₁, X₂, … , X_N, как разбить его на два подмножества, чтобы разница суммы значений элементов в двух подмножествах была минимальной?

Получить точное решение этой задачи труднее, чем для исходной задачи о разбиении. Если бы существовал простой способ решения задачи в общем случае, то его можно было бы использовать для решения исходной задачи. В этом случае можно было бы просто найти два подмножества, удовлетворяющих условиям, а затем проверить, совпадают ли суммы значений элементов в них.

Для решения общего случая задачи можно использовать метод ветвей и границ, примерно так же, как он использовался для решения частного случая задачи, чтобы избежать поиска по всему дереву. Можно также использовать при этом эвристический подход. Например, можно проверять элементы в порядке убывания их значения, помещая очередной элемент в подмножество с меньшей суммой значений элементов. Также можно было бы легко использовать случайный поиск, метод последовательных приближений, или метод отжига для поиска приближенного решения этого общего случая задачи.

Задача поиска Гамильтонова пути

Если задана сеть, то Гамильтоновым путем (Hamiltonian path) для нее называется путь, обходящий все узлы в сети только один раз и затем возвращающийся в начальную точку.

На рис. 8.9 показана небольшая сеть и Гамильтонов путь для нее, нарисованный жирной линией.

Задача поиска Гамильтонова пути формулируется так: если задана сеть, существует ли для нее Гамильтонов путь?

==============219

@Рис. 8.9. Гамильтонов путь

Так как Гамильтонов путь обходит все узлы в сети, то не нужно определять, какие из узлов попадают в него, а какие нет. Необходимо установить только порядок, в котором их нужно обойти для создания Гамильтонова пути.

Для моделирования этой задачи при помощи дерева, предположим, что ветви соответствуют выбору следующего узла в пути. Корневой узел тогда будет содержать N ветвей, соответствующих началу пути в каждом из N узлов. Каждый из узлов первого уровня будет иметь N – 1 ветвей, по одной ветви для каждого из оставшихся N – 1 узлов. Узлы на следующем уровне дерева будут иметь N – 2 ветвей, и так далее. Нижний уровень дерева будет содержать N! листьев, соответствующих N! возможных путей. Всего в дереве будет находиться порядка O(N!) узлов.

Каждый лист соответствует Гамильтонову пути, но число листьев может быть разным для различных сетей. Если два узла в сети не связаны друг с другом, то в дереве будут отсутствовать ветви, которые соответствуют переходам между этими двумя узлами. Это уменьшает число путей в дереве и соответственно, число листьев.

Так же, как и в задачах о выполнимости и о разбиении, для задачи поиска Гамильтонова пути нельзя получить приближенное решение. Путь может либо являться Гамильтоновым, либо нет. Это означает, что эвристический подход и метод ветвей и границ не помогут при поиске Гамильтонова пути. Что еще хуже, дерево решений для задачи поиска Гамильтонова пути содержит порядка O(N!) узлов. Это намного больше, чем порядка O(2^N) узлов, которые содержат деревья решений для задач о выполнимости и разбиении. Например, 2²⁰ примерно равно 1 * 10 ⁶, тогда как 20! составляет около 2,4 * 10¹⁸ — в миллион раз больше. Из‑за очень большого размера дерева решений задачи нахождения Гамильтонова пути, поиск в нем можно выполнить только для задач очень небольшого размера.