Глава 7. Сбалансированные деревья

При работе с упорядоченным деревом, вставке и удалении узлов, дерево может стать несбалансированным. Когда это происходит, то алгоритмы, работы с деревом становятся менее эффективными. Если дерево становится сильно несбалансированным, оно практически представляет всего лишь сложную форму связного списка, и программа, использующая такое дерево, может иметь очень низкую производительность.

В этой главе обсуждаются методы, которые можно использовать для балансировки деревьев, даже если узлы удаляются и добавляются с течением времени. Балансировка дерева позволяет ему оставаться при этом достаточно эффективным.

Глава начинается с описания того, что понимается под несбалансированным деревом и демонстрации ухудшения производительности для несбалансированных деревьев. Затем в ней обсуждаются АВЛ‑деревья, высота левого и правого поддеревьев в каждом узле которых отличается не больше, чем на единицу. Сохраняя это свойство АВЛ‑деревьев, можно поддерживать такое дерево сбалансированным.

Затем в главе описываются Б‑деревья и Б+деревья, в которых все листья имеют одинаковую глубину. Если число ветвей, выходящих из каждого узла находится в определенных пределах, такие деревья остаются сбалансированными. Б‑деревья и Б+деревья обычно используются при программировании баз данных. Последняя программа, описанная в этой главе, использует Б+дерево для реализации простой, но достаточно мощной базы данных.

Сбалансированность дерева

Как упоминалось в 6 главе, форма упорядоченного дерева зависит от порядка вставки в него новых узлов. На рис. 7.1 показано два различных дерева, созданных при добавлении одних и тех же элементов в разном порядке.

Высокие и тонкие деревья, такие как левое дерево на рис. 7.1, могут иметь глубину порядка O(N). Вставка или поиск элемента в таком несбалансированном дереве может занимать порядка O(N) шагов. Даже если новые элементы вставляются в дерево в случайном порядке, в среднем они дадут дерево с глубиной N / 2, что также порядка O(N).

Предположим, что строится упорядоченное двоичное дерево, содержащее 1000 узлов. Если дерево сбалансировано, то высота дерева будет порядка log₂(1000), или примерно равна 10. Вставка нового элемента в дерево займет всего 10 шагов. Если дерево высокое и тонкое, оно может иметь высоту 1000. В этом случае, вставка элемента в конец дерева займет 1000 шагов.

======155

@Рис. 7.1. Деревья, построенные в различном порядке

Предположим теперь, что мы хотим добавить к дереву еще 1000 узлов. Если дерево остается сбалансированным, то все 1000 узлов поместятся на следующем уровне дерева. При этом для вставки новых элементов потребуется около 10 * 1000 = 10.000 шагов. Если дерево было не сбалансировано и остается таким в процессе роста, то при вставке каждого нового элемента оно будет становиться все выше. Вставка элементов при этом потребует порядка 1000 + 1001 + … +2000 = 1,5 миллиона шагов.

Хотя нельзя быть уверенным, что элементы будут добавляться и удаляться из дерева в нужном порядке, можно использовать методы, которые будут поддерживать сбалансированность дерева, независимо от порядка вставки или удаления элементов.