Рекурсивное построение кривых Серпинского

Как и кривые Гильберта, кривые Серпинского (Sierpinski curves) — это самоподобные кривые, которые обычно определяются рекурсивно. На рис. 5.5 показаны кривые Серпинского 1, 2 и 3 порядка.

Алгоритм построения кривых Гильберта использует всего одну подпрограмму для рисования кривых. Кривые Серпинского проще рисовать, используя четыре отдельных процедуры, которые работают совместно. Эти процедуры называются SierpA, SierpB, SierpC и SierpD. Это процедуры с косвенной рекурсией — каждая процедура вызывает другие, которые затем вызывают первоначальную процедуру. Они рисуют верхнюю, левую, нижнюю и правую части кривой Серпинского, соответственно.

На рис. 5.6 показано, как эти процедуры работают совместно, образуя кривую Серпинского 1 порядка. Подкривые изображены стрелками, чтобы показать направление, в котором они рисуются. Отрезки, соединяющие четыре подкривые, нарисованы пунктирными линиями.

@Рис. 5.4. Программа Hilbert

=====92

@Рис. 5.5. Кривые Серпинского

Каждая из четырех основных кривых состоит из диагонального отрезка, затем вертикального или горизонтального отрезка, и еще одного диагонального отрезка. Если глубина рекурсии больше единицы, каждая из этих кривых разбивается на меньшие части. Это осуществляется разбиением каждого из двух диагональных отрезков на две подкривые.

Например, для разбиения кривой типа A, первый диагональный отрезок разбивается на кривую типа A, за которой следует кривая типа B. Затем рисуется без изменений горизонтальный отрезок из исходной кривой типа A. Наконец, второй диагональный отрезок разбивается на кривую типа D, за которой следует кривая типа A. На рис. 5.7 показано, как кривая типа A второго порядка образуется из нескольких кривых 1 порядка. Подкривые изображены жирными линиями.

На рис. 5.8 показано, как полная кривая Серпинского 2 порядка образуется из 4 подкривых 1 порядка. Каждая из подкривых обведена контурной линией.

Можно использовать стрелки  и  для обозначения типа линий, соединяющих подкривые (тонкие линии на рис. 5.8), тогда можно будет изобразить рекурсивные отношения между четырьмя типами кривых так, как это показано на рис. 5.9.

@Рис. 5.6. Части кривой Серпинского

=====93

@Рис. 5.7. Разбиение кривой типа A

Все процедуры для построения подкривых Серпинского очень похожи, поэтому мы приводим здесь только одну из них. Соотношения на рис. 5.9 показывают, какие операции нужно выполнить для рисования кривых различных типов. Соотношения для кривой типа A реализованы в следующем коде. Вы можете использовать остальные соотношения, чтобы определить, какие изменения нужно внести в код для рисования кривых других типов.

Private Sub SierpA(Depth As Integer, Dist As Single)

If Depth = 1 Then

Line -Step(-Dist, Dist)

Line -Step(-Dist, 0)

Line -Step(-Dist, -Dist)

Else

SierpA Depth - 1, Dist

Line -Step(-Dist, Dist)

SierpB Depth - 1, Dist

Line -Step(-Dist, 0)

SierpD Depth - 1, Dist

Line -Step(-Dist, -Dist)

SierpA Depth - 1, Dist

End If

End Sub

@Рис. 5.8. Кривые Серпинского, образованные из меньших кривых Серпинского

=====94

@Рис. 5.9. Рекурсивные соотношения между кривыми Серпинского

Кроме процедур, которые рисуют каждую из основных кривых, потребуется еще процедура, которая по очереди вызывает их все для создания законченной кривой Серпинского.

Sub Sierpinski (Depth As Integer, Dist As Single)

SierpB Depth, Dist

Line -Step(Dist, Dist)

SierpC Depth, Dist

Line -Step(Dist, -Dist)

SierpD Depth, Dist

Line -Step(-Dist, -Dist)

SierpA Depth, Dist

Line -Step(-Dist, Dist)

End Sub