3. Расчет дисперсии, ее свойства.

Помимо основной формулы расчета дисперсии применяется упрощенный способ ее вычисления.

I способ -- среднее из квадратов минус квадрат среднего.

__ _²  x² * f  x * f

² = x² - x = -------------- - ( --------------- ) ²

 f  f

2 способ -- способ моментов, основанный на свойствах дисперсии.

Свойства дисперсии:

• если каждое значение x уменьшить или увеличить на одно и то же число, то ² не меняется

• если каждое значение x уменьшить или увеличить в i число раз, то ² уменьшится или увеличится в i² число раз.

x - A ( x - A )

 ( --------) ² * f  ---------- * f

i i

² =  ------------------------- - ( ---------------------- ) ²  * i²

 f  f

² =  m₂ - m₁ ²  * i²

x - A x - A

 ( ------- ) * f  ( --------) ² * f

i i

где m₁ = ------------------------ m₂ = -----------------------

 f  f

m₁ - момент I порядка.

m₂ - момент II порядка.

3 способ -- меры вариации для сгруппированных данных.

Для сгруппированных данных можно выделить три дисперсии:

• общая ²

• межгрупповая ²

• внутригрупповая ²_i

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов.

__

 ( x_i - x ) ² * f_i

² = ------------------------

 f_i

Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри каждой группы.

__

 ( x_i - x_i ) ² * f_i

²_i = ------------------------

 f_i

__

Средняя дисперсия из внутригрупповых ²_i рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

___  ²_i * f_i

²_i = --------------------

 f_i

Этот показатель характеризует влияние на результативный признак всех прочих факторов за исключением признака, положенного в основу группировки.

Межгрупповая дисперсия измеряет вариацию, обусловленную признаком, положенным в основу группировки.

__ __

 ( x_i - x_о ) ² * f_i

² = ------------------------

 f_i

_ _

x_i -- средняя по отдельным группам, x_о -- средняя общая по всей совокупности.

Правило сложения дисперсий гласит:

___

² = ² + ²_i

С помощью закона сложения дисперсий можно оценить удельное значение фактора, лежащего в основе группировки, во всей совокупности факторов, воздействующих на результативный признак.

Осуществляется это с помощью коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Коэффициент детерминации рассчитывается как отношение:

²

D = ------

²

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается:

___  = до 0,3 -- слабая связь

 =  D  = от 0,3 до 0,7 -- средняя степень связи

 = свыше 0,7 -- высокая степень связи