Третій рівень

1. Точка взята на одній із граней двогранного кута і знаходиться від другої грані на відстані 6 см, а від ребра двогранного кута — на відстані 12 см. Знайти величину двогранного кута.

2. Основа прямої призми — ромб зі стороною а і гострим кутом . Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут . Визначити площу бічної поверхні призми.

3. У прямокутному паралелепіпеді сторони основи відносяться як 21, а діагональний переріз є квадратом з площею 25 см². Знайти площу повної поверхні паралелепіпеда.

Четвертий рівень

1. У тригранному куті два плоских кути дорівнюють по 45°, а двогранний кут між ними — прямий. Знайти третій плоский кут.

2. У паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K, P і M належать відповідно ребрам AA₁, A₁B₁ і BC. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною KPM.

3. Основою похилого паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ є прямокутник ABCD, сторони якого дорівнюють a і b. Бічне ребро AA₁, яке дорівнює с, утворює з площиною основи кут 45°, а з прилеглими сторонами AB і AD — рівні гострі кути. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Тематична робота 1 Варіант 4 Перший рівень

1. Якщо кут AOB — лінійний кут двогранного кута з ребром a, що зображений на рисунку, то...

а) m  a;

б) n  a;

в) m  a;

г) BOK — гострий.

2. Кут, утворений усіма плоскими кутами зі спільною вершиною B, є...

а) лінійним;

б) тригранним;

в) двогранним;

г) чотиригранним.

3. У якого з многогранників п’ять граней?

4. На рисунку зображено призму ABCA₁B₁C₁. Яке із тверджень неправильне?

а) основи призми — трикутники;

б) AA₁  BB₁;

в) CC₁ = AA₁ = BB₁;

г) CB₁ — діагональ призми.

5. Для двох бічних граней AA₁B₁B і СС₁B₁B призми ABCA₁B₁C₁ спільним ребром є...

а) площина ABC; б) A₁B₁;

в) B₁C₁; г) B₁B.

6. У п’ятикутній призмі площа основи дорівнює 8 см², а площа бічної поверхні 24 см². площа її повної поверхні дорівнює...

а) 32 см²; б) 24 см²; в) 40 см²; г) 64 см².

7. Якщо призма ABCDMA₁B₁C₁D₁M₁ пряма, то ...

а) AA₁  A₁M₁;

б) кут M₁MD — гострий;

в) AA₁M₁M — прямокутник;

г) С₁M — висота призми.

8. У похилого паралелепіпеда основою є ...

а) трикутник; б) трапеція;

в) паралелограм; г) інша відповідь.

9. Якщо довжина ребра куба дорівнює a, то площа його повної поверхні дорівнює...

а) 4a; б) a⁴; в) 4a ²; г) 6 a ².

10. Якщо площина , якій належить точка P, перетне грань MKK₁M₁ прямокутного паралелепіпеда по прямій M₁K, то вона перетне грань NPP₁N₁ по прямій...

а) PP₁; б) N₁P;

в) N₁P₁; г) NP.

Другий рівень

1. У правильній чотирикутній призмі сторона основи дорівнює 4 см. Обчислити висоту цієї призми, якщо її діагональ дорівнює 9 см.

2. В основі прямокутного паралелепіпеда лежить квадрат, сторона якого дорівнює 1 см. Діагональ паралелепіпеда дорівнює см. Знайти повну поверхню паралелепіпеда.

3. Побудувати переріз куба ABCDA₁B₁C₁D₁, площиною, яка проходить через точки K, P, T — середини ребер AB, BB₁, BC.

Третій рівень

1. Знайти кут між двома прямими, перпендикулярними до граней двогранного кута, величина якого 120°.

2. В основі прямої призми лежить ромб із гострим кутом  і площею S. Визначити бічну поверхню цієї призми, якщо діагональ її бічної грані нахилена до площини основи під кутом .

3. Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм зі сторонами 3 м і 5 м і кутом між ними 60°. Площа більшого діагонального перерізу дорівнює 63 м². Знайти повну поверхню паралелепіпеда.