6. Обратные тригонометрические функции

Число w называется арккосинусом числа z, если z = cos w. Обозначение: w = Arccos z. По формуле Эйлера

.

Решая квадратное уравнение относительно e^i w, находим

Выбор знака в последних формулах определится следующим соображением: если в формулу подставить z = cos w, то выражения должны обратиться в тождества. После подстановки в первое из них имеем:. Для согласованности с формулой Эйлера выбираем знак « + ». Отсюда

.

Изменение знака перед корнем равносильно изменению знака перед логарифмом, поскольку.

Аналогичные формулы можно дать для других функций:

,

,.

Важно отметить, что все эти функции, как и функция Ln z, являются многозначными.

4. Предел, непрерывность, дифференцируемость

Понятие предела, непрерывности те же, что для функции двух переменных. Однако понятие дифференцируемости функций комплексного переменного имеет существенные особенности.

Определение 4.4. Пусть точка z₀ является точкой сгущения (предельной точкой) области определения Ω функции f(z). Число A называется пределом функции f(z) при z  z₀, если для любого числа  > 0 существует число  > 0, что неравенство |f(z) – A| <  выполняется для всех z  z₀, z  Ω, |z – z₀| < .

Существуют, как известно, и другие определения предела. Очень полезным является определение предела на языке последовательностей:

.

Определение 4.5. Пусть z₀ принадлежит области определения Ω функции f(z). Функция f(z) называется непрерывной в этой точке, если.

Определение 4.6. Производной функции f(z) в точке z называется предел отношения приращения функции Δf = f(z + Δz) – f(z) к приращению аргумента Δz, когда последнее стремится к нулю:

.

Теорема 4.3. Пусть функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) определена в некоторой окрестности точки z и в этой точке дифференцируемы функции u(x,y) и v(x,y). Тогда для того, чтобы функция комплексного переменного f(z) была дифференцируема в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись соотношения

(4.1)

называемые условиями Коши – Римана.

Ограничимся доказательством необходимости этих условий. Пусть существует. Вычислим этот предел, подходя к точке z разными путями: по оси Ox (то есть полагая Δz = Δx) и по оси Oy (то есть полагая Δz = i Δy ). Имеем соответственно два равенства

,.

Из равенства действительных и мнимых частей равных комплексных чисел следуют условия Коши – Римана (4.1).

Теорема 4.1 показывает, что понятие дифференцируемой функции комплексного переменного введенное по полной аналогии с соответствующим понятием для функций действительной переменной, привело к существенным различиям. Поясним это на примере. Рассмотрим функцию f(z) = z  Im z = yx + i y². Частные производные от действительной u = yx и мнимой v = y² частей

,

являются непрерывными функциями. Для функции действительного переменного этого достаточно, чтобы считать ее дифференцируемой ([2], стр. 347, теорема 3). Однако в данном случае мы видим выполнение условий Коши – Римана только в точке z = 0 и, следовательно, эта функция не дифференцируема ни в какой другой точке, хотя u(x,y), v(x,y) - функции дифференцируемые на всей плоскости.

Соотношения Коши – Римана позволяют получить различные выражения для нахождения производных от функций комплексной переменной:

(4.2)

Формулы (4.2) позволяют достаточно просто получить таблицу производных от элементарных функций комплексного переменного. Несмотря на существенные различия в определении этих функций, эта таблица формально совпадает с таблицей производных от соответствующих функций действительного переменного. Например, исходя из первой формулы в наборе (4.2), получим

,

.

и т.д.

В некоторых случаях для проверки дифференцируемости функции удобнее пользоваться условиями Коши – Римана, выраженными через полярные координаты x =  cos , y =  sin .

, (4.3)

при этом производная в полярных координатах находится по формуле

. (4.4)

Для доказательства (4.3), воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, имеем

.

Применив условия Коши – Римана, получим

. (4.5)

Аналогично находим

. (4.6)

Сравнивая равенства (4.5) и (4.6) получим первое из условий (4.3). Точно также устанавливается второе из этих равенств.

Пример 4.1. Доказать равенство (Ln z)' = 1/z.

Решение. Ln z = ln |z| + i (arg z + 2k) , k = 0, 1, 2, … Пусть x =  cos , y =  sin . Тогда |z| =  и arg z = . Условия (4.3) легко проверяются:. По формуле (4.4), получаем

. (4.7)

Можно сказать, пользуясь терминологией функций действительной переменной, что Ln z является первообразной к 1/z.