- •Оглавление
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной
- •Часть 2. Решение задач по теории функций
- •Предисловие
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной переменной
- •Алгебра комплексных чисел
- •Различные формы представления комплексных чисел
- •Предел последовательности комплексных чисел
- •Расширение понятия комплексная плоскость
- •Сфера Римана
- •Функции комплексной переменной (фкп)
- •Степенные функции
- •Показательная функция
- •Тригонометрические функции
- •Гиперболические функции
- •Логарифмическая функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Предел, непрерывность, дифференцируемость
- •Аналитические функции
- •Свойства аналитических функций
- •Интеграл по комплексной переменной.
- •Основные свойства.
- •Теорема Коши
- •Неопределенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница
- •Формула Коши
- •Представление аналитических функций степенными рядами
- •Ряды Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Особые точки аналитической функции.
- •Классификация особых точек
- •Теоремы о вычетах
- •Об аналитическом продолжении
- •Вычисление интегралов типа
- •Вычисление интегралов типа
- •Леммы Жордано
- •Вычисление несобственных интегралов.
- •Интегралы типа
- •Контур Бромвича и интеграл Бромвича – Вагнера.
- •Функция Хевисайда и ее интегральные представления
- •Часть 2. Решение задач по теории функций комплексной переменной
- •Комплексные числа
- •Формы записи комплексных чисел
- •Примеры с решениями
- •Алгебраические операции над комплексными числами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Элементарные функции комплексного переменного
- •Представление элементарных функций комплексного переменного в алгебраической форме
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Аналитические функции комплексного переменного
- •Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного.
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •Вычисление интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Вычеты. Контурные интегралы
- •Классификация особых точек.
- •Примеры с решениями.
- •Вычеты. Вычисление контурных интегралов
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление определенных интегралов от действительных функций
- •Интегралы типа
- •Вычисление несобственных интегралов второго рода
- •Вычисление интегралов вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •394000, Воронеж, пр. Революции, 19
-
Теоремы о вычетах
Теорию вычетов для вычисления контурных интегралов создал Коши в течении 1826 – 1829 годов. Основой теории являются формулы (9.1) и (9.2). Столь странное название объясняется, по-видимому, тем, что к этому понятию Коши пришел, отыскивая разность между интегралами по двум разным путям, между которыми находятся полюсы аналитической функции (то есть в результате этого вычитания и получается замкнутый контур, содержащий полюсы внутри себя). Далее, если не оговорено противное, все интегралы по замкнутому контуру берутся в положительном направлении.
Определение 12.12. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z0 называется число.
Теорема 12.14. Вычет функции f(z) относительно устранимой особой точки равен нулю.
Доказательство. Устраняя особенность, рассмотрим функцию, которая, как уже отмечалось, является аналитической. Поэтому. Но на контуре интегрирования f(z) = φ(z), откуда следует утверждение теоремы.
Теорема 12.15. Вычет функции f(z) относительно полюса порядка n определяется по формуле
. (12.1)
В частности при n = 1 (простой полюс)
. (12.2)
Если же при этом функцию f(z) можно представить в виде дроби со знаменателем ψ(z0) = 0, ψ'(z0) ≠ 0 и, то
. (12.3)
Доказательство. Формула (12.2) следует из (12.1) при n = 1. Формула (12.3) с очевидностью следует из (12.2) ввиду того, что, поскольку ψ(z0) = 0. Докажем (12.1). Имеем
.
Числитель получившейся дроби имеет конечный предел при z z0 (см. определение «полюса порядка n»). Следовательно, исходя из возможности аналитического доопределения функции, бесконечной дифференцируемости аналитических функций (свойство 6 аналитических функций) и формулы (9.2), применяемой к функции (z – z0)n f(z), получим утверждение (12.1).
Теорема 12.16 (основная теорема о вычетах). Пусть функция f(z) аналитическая в замкнутой области за исключением конечного числа изолированных особых точек zk Ω, k = 1,2, … n. Тогда
. (12.4)
Доказательство. Каждую из особых точек вырежем из области Ω вместе с круговыми окрестностями |z – zk| < rk достаточно малых радиусов rk, чтобы была возможность применить теорему Коши для многосвязной области. Тогда равенство (7.2) дает, где каждый из интегралов справа есть соответствующий вычет, умноженный на 2π i. Доказательство закончено.
-
Об аналитическом продолжении
Мы уже отметили ряд необычных свойств аналитических функций. Для обоснования возможности применения теории вычетов при интегрировании функций действительной переменной нам понадобится еще одно важное свойство – единственности аналитических функций. Это свойство позволяет заключить, что для определения функции, аналитической в данной области, достаточно знать значения этой функции на произвольном множестве из этой области, имеющем точку сгущения. А именно, справедливо следующее утверждение.
Теорема 13.17 (единственности). Пусть функция f(z) является аналитической в области Ω и обращается в нуль в различных точках zn Ω, n = 1,2,3, …. Если последовательность {zn} сходится к пределу, принадлежащему той же области Ω, то функция f(z) тождественно равна нулю в области Ω.
Доказательство. Пусть. Аналитическая функция f(z) в окрестности этой точки представляется степенным рядом (с радиусом сходимости не меньше расстояния от точки z0 до границы области аналитичности функции f(z)).
, (13.1)
Поскольку f(z0) = 0, то c0 = 0 и разложение в окрестности z = z0 имеет вид f(z) = (z – z0) f1(z), где. Так как f(zn) = 0 и zn ≠ z0, то f1(zn) = 0. В силу непрерывности c1 = 0 f1(z) = (z – z0) f2(z), где. Аналогично предыдущему получим, что и f2(z0) = 0, то есть с2 = 0. Этот процесс можно продолжать неограниченно, из чего заключаем, что все коэффициенты в разложении (13.1) равны нулю. Но это означает, что f(z) ≡ 0 внутри круга сходимости. Чтобы доказать, что f(z) = 0 в произвольной точке z1, достаточно заметить, что путь z0z1 состоящий из внутренних точек области аналитичности можно покрыть конечным числом пересекающихся кругов, каждая точка которых оказывается точкой сгущения множества, где f(z) = 0. Доказательство закончено.
Эта теорема позволяет утверждать, что две функции аналитические в одной и той же области и совпадающие на некотором участке прямой или кривой совпадают. Например, элементарные функции комплексной переменной, совпадающие на действительной оси с соответствующими функциями действительной переменной – единственные, обладающие этим свойством. Более того, из теоремы единственности вытекает, что если на отрезке [a,b] действительной оси задана непрерывная функция f(x), то в некоторой области Ω комплексной переменной, содержащий этот отрезок существует только одна аналитическая функция f(z) комплексной переменной z, принимающая данные значения f(x) на отрезке [a,b]. Функция f(z) называется аналитическим продолжением функции f(x) действительной переменной x в комплексную область Ω.