9. Формула Коши

Теорема 9.8. Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой области и z₀  Ω – произвольная точка. Тогда имеет место формула Коши

, (9.1)

где C – произвольный замкнутый контур, целиком лежащий в и содержащий точку z₀ внутри себя.

Доказательство. Пусть ε – произвольное достаточно малое число, такое, что окружность этого радиуса с центром в точке z₀ целиком лежит внутри контура C. Подынтегральная функция аналитична в области |z – z₀| < ε. Поэтому можно применить следствие теоремы 7.3. Таким образом

.

Используя очевидное равенство, получим

, где максимум берется по всем.

Левая часть этого неравенства не зависит от ε, правая же часть может быть произвольно мала при малом ε (ввиду непрерывности f(z)). Такая ситуация возможна лишь в случае когда левая часть равна нулю. Доказательство закончено.

Следствие 1. При выполнении условий теоремы 9.1 аналитическая функция имеет производные любого порядка и

. (9.2)

Доказательство. Предполагая, точку z₀ переменной и продифференцировав равенство (9.1) n раз по z₀, получим (9.2). О возможности дифференцирования по параметру под знаком интеграла смотрите в [3], стр. 51 – 52.

Пример 9.1. Вычислить интеграл, если С – окружность a) |z| = 1, b) |z| = 3. Ответ: a) 0; b) 2π i e².

Рассмотрим случай, когда точка лежит на контуре (см. рис. 7). Покажем, что в этом случае. Будем рассматривать далее контур C как разорванный в точке. Сразу заметим, что интегралы по дугам полуокружностей, вычисляются аналогично интегралу в доказательстве теоремы 9.1.

Рис. 7. Варианты обхода полюса.

Соответственно, . Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру (- большая полуокружность в верхней полуплоскости). В области, ограниченной контуром подынтегральная функция не содержит особых точек. Поэтому интеграл по контуру равен нулю. С другой стороны,

.

При обходе особой точки снизу получим

.

Как видим, любой вариант обхода приводит к одному и тому же результату для исследуемого интеграла. Следовательно, формулу Коши можно записать следующим образом

(9.3)

10. Представление аналитических функций степенными рядами

    1. Ряды Тейлора.

Представление функции в окрестности некоторой точки z₀ в виде степенного ряда во многих учебниках по ТФКП служит определением аналитической функции. Из следующей теоремы, которую мы приведем без доказательства, и второй теоремы Абеля (об абсолютной сходимости степенного ряда внутри круга сходимости, см.[2], стр. 621) вытекает равносильность таких определений аналитичности.

Теорема 10.9 (Теорема Вейерштрасса) Пусть члены ряда являются аналитическими функциями в некоторой области Ω, а сам ряд сходится равномерно к функции f(z) в каждой замкнутой подобласти Ω' области Ω. Тогда:

1) f(z) является аналитической функцией в области Ω.

2).

3) Ряд сходится равномерно в любой замкнутой подобласти Ω' области Ω.

Доказательство этого утверждения см. в [3], стр.61.

Теорема 10.10 (теорема Тейлора). Функция f(z), аналитическая внутри круга |z – z₀| < R, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, причем этот ряд определен однозначно.

Доказательство. Выберем произвольную точку z внутри круга и построим окружность C_ρ радиуса ρ с центром в точке z₀. По формуле Коши имеем

.

Из теории рядов нам известно разложение, которое справедливо в области |q| < 1. Очевидно, что. Поэтому

.

Теперь формула (9.2) дает нам ряд

, , (10.1)

который, как нам уже известно, называется рядом Тейлора функции f(z). Единственность представления функции ее рядом Тейлора достаточно просто вытекает из единственности представления коэффициентов Тейлора (10.1). Доказательство закончено.

Замечание 10.1. f(z) – функция аналитическая в точке z₀ , если (  D > 0 ) (  z{|z – z₀| < D} ) 