- •Оглавление
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной
- •Часть 2. Решение задач по теории функций
- •Предисловие
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной переменной
- •Алгебра комплексных чисел
- •Различные формы представления комплексных чисел
- •Предел последовательности комплексных чисел
- •Расширение понятия комплексная плоскость
- •Сфера Римана
- •Функции комплексной переменной (фкп)
- •Степенные функции
- •Показательная функция
- •Тригонометрические функции
- •Гиперболические функции
- •Логарифмическая функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Предел, непрерывность, дифференцируемость
- •Аналитические функции
- •Свойства аналитических функций
- •Интеграл по комплексной переменной.
- •Основные свойства.
- •Теорема Коши
- •Неопределенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница
- •Формула Коши
- •Представление аналитических функций степенными рядами
- •Ряды Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Особые точки аналитической функции.
- •Классификация особых точек
- •Теоремы о вычетах
- •Об аналитическом продолжении
- •Вычисление интегралов типа
- •Вычисление интегралов типа
- •Леммы Жордано
- •Вычисление несобственных интегралов.
- •Интегралы типа
- •Контур Бромвича и интеграл Бромвича – Вагнера.
- •Функция Хевисайда и ее интегральные представления
- •Часть 2. Решение задач по теории функций комплексной переменной
- •Комплексные числа
- •Формы записи комплексных чисел
- •Примеры с решениями
- •Алгебраические операции над комплексными числами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Элементарные функции комплексного переменного
- •Представление элементарных функций комплексного переменного в алгебраической форме
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Аналитические функции комплексного переменного
- •Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного.
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •Вычисление интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Вычеты. Контурные интегралы
- •Классификация особых точек.
- •Примеры с решениями.
- •Вычеты. Вычисление контурных интегралов
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление определенных интегралов от действительных функций
- •Интегралы типа
- •Вычисление несобственных интегралов второго рода
- •Вычисление интегралов вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •394000, Воронеж, пр. Революции, 19
-
Ряд Лорана.
Рассмотренные выше степенные ряды хорошо иллюстрируют поведение функции в окрестности «хорошей» точки. Если же точка для функции оказывается особой, например, в этой точке функция не дифференцируема, то разложение в ряды типа рядов Тейлора невозможно. О поведении функций в окрестности особых точек судят с помощью рядов Лорана. Рядом Лорана называется следующий ряд
, (10.2)
где z0 – фиксированная точка комплексной плоскости, а cn – некоторые комплексные числа, а суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным значениям индекса n. Если разделить слагаемые с отрицательными и положительными индексами суммирования, то приходим к выводу, что областью сходимости такого ряда может быть кольцо R1< |z – z0| < R2, где круг |z – z0| < R2 – область сходимости ряда с положительными индексами суммирования, а внешность круга |z – z0| > R1 – область сходимости ряда с отрицательными индексами суммирования. Также как в случае с рядами Тейлора функция f(z) аналитическая в круговом кольце R0< |z – z0| < R1 однозначно представляется в этом кольце рядом Лорана. При этом количество членов с отрицательными индексами суммирования характеризует тип особенности аналитической функции в точке z0.
Пример 10.1. Функция не определена при z = 0. При z ≠ 0 ее можно представить в виде ряда, если воспользоваться рядом Тейлора для функции sin z:.
. (10.3)
Отсюда видим, что хотя данная функция f(z) не определена при z = 0, существует. Если доопределить функцию f(z), положив f(0) = 1, то мы получим функцию, представленную всюду степенным рядом (10.3) и, поэтому, аналитическую во всей комплексной плоскости (точка z = 0 называется в связи с этим устранимой особой точкой). Но если бы вместо этой функции мы рассмотрели бы функцию (k = 1,2, … ), то теми же действиями получили бы ряд Лорана, содержащий k членов с отрицательным индексом суммирования (такая точка называется полюсом порядка k).
-
Особые точки аналитической функции.
Точки, в которых нарушается аналитичность однозначной функции f(z), будем называть особыми точками аналитической функции. Рассматриваются только изолированные особые точки, то есть когда существует окрестность, не содержащая других особых точек.
-
Классификация особых точек
Пусть функция f(z) – аналитическая в некоторой окрестности точки z0, исключая саму точку z = z0. Выделим три типа особых точек.
-
Точка z0 называется устранимой особой точкой функции f(z), если существует. Такое название связано с тем, что, доопределив функцию f(z) в точке z0 (положив f(z0) = C), мы получим не только непрерывную функцию, но и аналитическую (доказательство можно найти в [2], стр. 113).
-
Особая точка z0 называется полюсом порядка n (n > 0), если существует, 0 < |C| <∞. При n = 1 полюс называется простым.
-
Точка z0 называется существенно особой точкой функции f(z), аналитической в некоторой проколотой окрестности этой точки, если не существует.
Методика определения особых точек типа полюс вытекает из следующих теорем.
Теорема 11.11. Для того, чтобы точка z = z0 была нулем аналитической функции g(z) порядка m , то есть чтобы, где ψ(z) – аналитическая функция, в некоторой окрестности точки z0 ( ψ(z0) ≠ 0 ), необходимо и достаточно, чтобы наименьший порядок производной в точке z0 отличной от нуля был равен m , то есть
g(z0) = g'(z0) = … = g(m–1) (z0) = 0 , g(m)(z0) ≠ 0. (11.1)
Доказательство. Необходимость условия (11.1) практически очевидна: каждое слагаемое в выражении для g(k)(z) при k < m содержит множитель (z – z0) не менее чем в первой степени. Докажем достаточность. Так как функция g(z) аналитическая окрестности точки z0, то в этой окрестности точки z0 она представляется своим рядом Тейлора, где первые m слагаемых равны нулю вследствие условия (11.1). Но тогда
,
где ψ(z) – сумма степенного ряда, который имеет тот же радиус сходимости, что и ряд для функции g(z), поэтому (см. замечание 10.1) ψ(z) – аналитическая функция. Доказательство закончено.
Теорема 11.12. Для того, чтобы точка z = z0 была полюсом функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем функции.
Доказательство. Пусть z0 – ноль функции g(z) порядка k, т.е. g(z) = (z – z0)k ψ(z), где ψ(z) аналитическая функция и ψ(z0) ≠ 0. Тогда
, что по определению означает, что z0 – полюс порядка k функции f(z). Пусть наоборот, точка z0 – полюс порядка k функции f(z). Тогда, где ψ(z) – функция, аналитическая в точке z = z0 и ψ(z0) ≠ 0. Доказательство закончено.
Следствием из этих двух теорем является следующее утверждение.
Теорема 11.13. Для того, чтобы точка z = z0 была полюсом порядка m для функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде
, (11.2)
где ψ(z) – функция аналитическая в точке z0 и ψ(z0) ≠ 0.
Упражнения. Определите типы особых точек для следующих функций:
1.; 2.; 3.; 4..