ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО

«ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Л. Н. Ляхов, Д. С. Сайко, Ю.С.Эктов

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ВОРОНЕЖ

2007

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО

«ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Л. Н. Ляхов, Д. С. Сайко, Ю.С.Эктов

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Утверждено

редакционно-издательским советом академии

в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ

2007

УДК 517.53

ББК В161.55я7

Л98

Научный редактор профессор В. И. РЯЖСКИХ

Рецензенты:

кафедра дифференциальных уравнений Воронежского государственного университета; д-р физ.-мат. наук И.Л. БАТАРОНОВ

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

Воронежской государственной технологической академии

Л98 Элементы теории функций комплексной переменной [ Текст ]: учебное пособие /Л.Н. Ляхов, Д. С. Сайко, Ю.С. Эктов. Воронеж. гос. технол. акад.:. Воронеж: 2007.- 96 с.

ISBN 978-5-89448-532-4

Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями ГОС ВПО подготовки инженеров по направлениям 220301 - «Автоматизация технологических процессов и производств (в пищевой и химической промышленности)», 220201 -- «Управление и информатика в технических системах», 200503 - «Стандартизация и сертификация», 240902 - «Пищевая биотехнология», 280201 - «Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов», 280202 - «Инженерная защита окружающей среды»направлению 220300 (специальность 220301) дневной формы обучения. Пособие предназначено для освоения теоретических знаний дисциплин цикла ЕН.01 "Математика". Оно состоит из двух частей. Первая часть содержит теоретический материал по теории функций комплексной переменной, вторая - указания и рекомендации к решению задач по указанному разделу математики.

Л

ISBN 978-5-89448-532-4  Л.Н. Ляхов,

Д. С. Сайко,

Ю.С. Эктов, 2007

 ГОУВПО «Воронеж. гос. технол. акад.», 2007

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежской государст­венной технологической академии, его репродуцирование (воспроизведение) любым спо­собом без согласия академии запрещается.

Оглавление

Предисловие 5

Часть 1. Основы теории функций комплексной

переменной 6

1. Алгебра комплексных чисел 7

1.1. Различные формы представления комплексных чисел 8

2. Предел последовательности комплексных чисел 10

2.1. Расширение понятия комплексная плоскость 11

2.2. Сфера Римана 12

3. Функции комплексной переменной (ФКП) 13

3.1. Степенные функции 14

3.2. Показательная функция 14

3.3. Тригонометрические функции 15

3.4. Гиперболические функции 16

3.5. Логарифмическая функция 16

3.6. Обратные тригонометрические функции 16

4. Предел, непрерывность, дифференцируемость 18

5. Аналитические функции 21

5.1. Свойства аналитических функций 21

6. Интеграл по комплексной переменной. 23

6.1. Основные свойства. 23

7. Теорема Коши 26

8. Неопределенный интеграл и формула

Ньютона-Лейбница 28

9. Формула Коши 33

10. Представление аналитических функций степенными

рядами 36

10.1. Ряды Тейлора. 36

10.2. Ряд Лорана. 38

11. Особые точки аналитической функции. 39

11.1. Классификация особых точек 39

12. Теоремы о вычетах 41

13. Об аналитическом продолжении 43

14. Вычисление интегралов типа 45

15. Вычисление интегралов типа 46

16. Леммы Жордано 48

16.1. Вычисление несобственных интегралов. 49

Часть 2. Решение задач по теории функций

комплексной переменной 56

1. Комплексные числа 56

1.1. Формы записи комплексных чисел 56

1.2. Примеры с решениями 57

1.3. Алгебраические операции над комплексными числами 58

1.4. Задачи для самостоятельного решения 62

2. Элементарные функции комплексного переменного 65

2.1. Представление элементарных функций комплексного

переменного в алгебраической форме 65

2.2. Задачи для самостоятельного решения 69

3. Аналитические функции комплексного переменного 70

3.1. Дифференцируемость и аналитичность функций

комплексного переменного. 70

3.2. Примеры с решениями 71

3.3. Задачи для самостоятельного решения 75

4. Интегрирование функций комплексного переменного 76

4.1. Вычисление интегралов. Теорема Коши.

Интегральная формула Коши 76

4.2. Примеры с решениями 78

4.3. Задачи для самостоятельного решения. 81

5. Вычеты. Контурные интегралы 82

5.1. Классификация особых точек. 82

5.2. Примеры с решениями. 83

5.3. Вычеты. Вычисление контурных интегралов 85

5.4. Примеры с решениями 86

5.5. Задачи для самостоятельного решения 87

6. Вычисление определенных интегралов от

действительных функций 88

6.1. Интегралы типа 88

6.2. Вычисление несобственных интегралов второго рода 90

6.3. Вычисление интегралов вида 90

6.4. Задачи для самостоятельного решения 93

Библиографический список 94

Предисловие

Цель этого лекционного курса – познакомить слушателей с математическим аппаратом, на базе которого вводятся интегральные преобразования, и соответствующие операционные исчисления, столь необходимые в инженерной практике. Небольшое количество часов (5 лекций), отпущенное программой, заставляет читать этот курс интенсивно. а некоторые утверждения принимать без доказательств, снабдив их лишь необходимыми для понимания примерами. Кроме того, в ряде случаев, мы вынуждены отступить (в угоду сжатости) от классического изложения, принятого во всех современных учебниках по теории аналитических функций.

К сожалению, в курсе отсутствует теория конформных отображений и приложения этой теории к задачам механики. В лекциях указаны ссылки на литературу, где читатель может самостоятельно ликвидировать пробелы в соответствующих разделах курса лекций.

Основной целью данного курса лекций является изучение и применение теория вычетов. В качестве приложения теории рассмотрены несколько видов интегралов от функций действительной переменной, последние из которых прямо связаны с преобразованием Фурье и (даже в большей степени) Лапласа. Поэтому в пособии более подробно, чем обычно, изложены леммы Жордано и приведено уточнение формулы Коши, рассчитанное на использование в интегральных преобразованиях.

Основная причина, по которой было написано данное пособие – необходимость быстро и доступно разъяснить основы методов операционного исчисления и научиться пользоваться этими методами. Имеющаяся литература по указанному разделу, как правило, имеет фундаментальный характер и труднодоступна студенту технического Вуза, как по характеру изложения, так и в прямом смысле этого слова.

Пособие состоит из двух частей. В первой части изложен теоретический материал с достаточно строгой доказательной основой. Вторая часть представляет собой указания к практическим занятиям по функциям комплексной переменной. В конце каждого раздела второй части пособия приведено не менее 25 заданий для самостоятельной работы студентов. Эти задания могут использоваться как основа для формирования РПР по математике.