- •Оглавление
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной
- •Часть 2. Решение задач по теории функций
- •Предисловие
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной переменной
- •Алгебра комплексных чисел
- •Различные формы представления комплексных чисел
- •Предел последовательности комплексных чисел
- •Расширение понятия комплексная плоскость
- •Сфера Римана
- •Функции комплексной переменной (фкп)
- •Степенные функции
- •Показательная функция
- •Тригонометрические функции
- •Гиперболические функции
- •Логарифмическая функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Предел, непрерывность, дифференцируемость
- •Аналитические функции
- •Свойства аналитических функций
- •Интеграл по комплексной переменной.
- •Основные свойства.
- •Теорема Коши
- •Неопределенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница
- •Формула Коши
- •Представление аналитических функций степенными рядами
- •Ряды Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Особые точки аналитической функции.
- •Классификация особых точек
- •Теоремы о вычетах
- •Об аналитическом продолжении
- •Вычисление интегралов типа
- •Вычисление интегралов типа
- •Леммы Жордано
- •Вычисление несобственных интегралов.
- •Интегралы типа
- •Контур Бромвича и интеграл Бромвича – Вагнера.
- •Функция Хевисайда и ее интегральные представления
- •Часть 2. Решение задач по теории функций комплексной переменной
- •Комплексные числа
- •Формы записи комплексных чисел
- •Примеры с решениями
- •Алгебраические операции над комплексными числами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Элементарные функции комплексного переменного
- •Представление элементарных функций комплексного переменного в алгебраической форме
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Аналитические функции комплексного переменного
- •Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного.
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •Вычисление интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Вычеты. Контурные интегралы
- •Классификация особых точек.
- •Примеры с решениями.
- •Вычеты. Вычисление контурных интегралов
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление определенных интегралов от действительных функций
- •Интегралы типа
- •Вычисление несобственных интегралов второго рода
- •Вычисление интегралов вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •394000, Воронеж, пр. Революции, 19
-
Примеры с решениями
Пример 1.1. В задачах 1 – 6 записать данные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. =
-
Алгебраические операции над комплексными числами
Алгебраические операции сложения и умножения над комплексными числами вводятся по правилам сложения и умножения двучленов, т.е., если
то
,
.
Для любого комплексного числа существует обратное, т.е. такое, что. Легко проверить, что этим числом является число , где – комплексно-сопряженное число.
Например, представим комплексное число в алгебраической форме.
Решение.
Умножение и деление комплексных чисел можно производить не в алгебраической, а в тригонометрической форме. Использование формул тригонометрии дает следующий результат: пусть, , , , тогда
,
.
Здесь видим простое правило: при произведении модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.
Целая степень комплексного числа определяется многократным умножением. При этом, возможно использование формулы бинома Ньютона, а если степень не велика, то формул сокращенного умножения, например
Для возведения комплексного числа в степень удобно пользоваться не алгебраической, а тригонометрической или показательной формами записи комплексного числа. Справедлива следующая формула, которая носит название формула Муавра: для
Корень -й степени () из комплексного числа имеет различных значений, которые находятся по формуле:
,
где. Эти значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят ее на n равных частей (т.е. при являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность).
Пример 1.2. Найти произведение и частное чисел и.
Решение. По формулам (1.1) – (1.2)
,
.
Пример 1.3. Вычислить.
Решение. Модуль числа равен, а главное значение его аргумента. По формуле (1.3)
.
Пример 1.4. Найти все значения.
Решение. Искомые корни обозначим Модуль подкоренного числа равен 1, а аргумент (главный) равен 0. Отсюда, по формуле (1.5),
.
При , при , при . Корни уравнения показаны на рис. 10.
Рис. 10. Корни уравнения
Рис. 11. Построение области к примеру 1.5.
Пример 1.5. Построить область
на комплексной плоскости
Решение. Первая из областей () представляет собой сектор с началом в точке. Границы сектора отмечены пунктирной линией, поскольку они заданы строгим неравенством.
Вторая область представляет собой круг с центром в точке и радиусом. Граница области изображена сплошной линией, так как область задана нестрогим неравенством. Искомая область есть пересечение сектора и круга. На рис.11 эта область не заштрихована.
-
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить, исходя из определения числа:, , , ,.
2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел и изобразить их на комплексной плоскости:
3. Найти модули и аргументы комплексных чисел. Изобразить числа на комплексной плоскости и записать их в тригонометрической и показательной формах:
4. Вычислить по формуле Муавра:
5. Найти все значения корней: а), б), в).
6. Найти главное значение аргумента комплексного числа.
7. Все ли заданные числа записаны в тригонометрической форме? Если нет, то записать их в тригонометрической и показательной формах: а), б).
8. Представить в тригонометрической форме число .
9. Числа, , представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
10. Числа, и даны в задании 9. Решить уравнения.
11. Построить линии на комплексной плоскости: 1), 2), 3), 4), 5).
12. Построить области на комплексной плоскости:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|