14. Вычисление интегралов типа

Для вычисления интегралов указанного типа введем комплексную переменную z = e^i θ. Тогда

,

где.

Как видим, мы получили интеграл по замкнутому контуру от рациональной функции. Пусть знаменатель этой функции имеет n корней, среди которых m корней z_k(k = 1,2, … m) лежат (строго) внутри контура |z| = 1. Тогда, согласно основной теореме о вычетах, получим ответ в виде

.

Пример 14.1. Вычислить интеграл, 0 < a < 1.

Решение.

.

Особыми точками являются нули знаменателя (простые полюсы). Так как z₁ z₂ = 1, то лишь один из них лежит внутри круга |z| = 1. Легко видеть, что это – точка. Таким образом,

.

Окончательно.

15. Вычисление интегралов типа

Лемма 15.1. Пусть f(z) – аналитическая функция в верхней полуплоскости Im z > 0 за исключением конечного числа изолированных особых точек, и существуют такие положительные числа R₀, M и γ, что для всех точек |z| > R₀ в верхней полуплоскости имеет место оценка

. (15.1)

Тогда

, (15.2)

где контур интегрирования C _R – полуокружность |z| = R, в верхней полуплоскости Im z > 0.

Доказательство. Применяя свойство 5) (неравенство(6.6)) интеграла по комплексной переменной, получим

.

Доказательство закончено.

Теорема 15.18. Пусть функция f(x), заданная на действительной оси – ∞ < x < ∞, может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость Im z ≥ 0 и ее аналитическое продолжение f(z) удовлетворяет всем условиям леммы 15.1 и не имеет на действительной оси особых точек. Тогда несобственный интеграл существует и

, (15.3)

где z_k (k = 1,2, … n) особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости Im z > 0.

Доказательство. Пусть R > R₀ (см. условия леммы 15.1). Рассмотрим замкнутый контур, состоящий из отрезка действительной оси R ≤ x ≤ R и полуокружности C_R радиуса R с центром в начале координат в верхней полуплоскости Im z > 0. Радиус R выберем достаточно большим, чтобы все особые точки z_k были расположены внутри этого контура. Тогда, согласно основной теореме о вычетах, имеем

, (15.4)

Так как выполнены условия леммы 15.1 то предел второго слагаемого в левой части (15.4) равен нулю, когда R  ∞; правая часть (15.4) от R не зависит. Переходя в равенстве (14.4) к пределу при R  ∞ получим утверждение (15.3). Доказательство закончено.

Пример 15.1. Вычислить интеграл

Особые точки функции, лежащие в верхней полуплоскости: z₁ = e^¼ π i , z₂ = e^¾ π i. Для вычисления вычетов воспользуемся второй из формул (11.2). Имеем

.

16. Леммы Жордано

Леммы Жордано используются при нахождении преобразований Фурье и Лапласа и часто оказываются незаменимы в операционных исчислениях, построенных на базе этих преобразований.

Лемма 16.1 (лемма Жордано). Пусть функция f(z) является аналитической в верхней полуплоскости Im z > 0, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и равномерно относительно arg z (0 ≤ arg z ≤ π) стремится к нулю при |z|  ∞. Тогда при a > 0

, (16.1)

где C_R – дуга полуокружности |z| = R в верхней полуплоскости Im z > 0.

Доказательство. Условие стремления f(z) к нулю при |z|  ∞ равномерно относительно arg z в области Im z > 0 означает, что существует зависящая только от R = |z| (то есть не зависящая от аргумента точки z) функция, оценивающая сверху функцию f(z) для достаточно больших |z|=R:

(16.2)

При интегрировании по окружности радиуса R удобно произвести замену z = R e^i φ, dz = i R e^i φ dφ, в результате получим

.

Отсюда, учитывая (16.2) и тождество, имеем

Используя очевидное неравенство , получаем оценку . Окончательно. Предельный переход в последнем соотношении и завершает доказательство леммы.

Приведем еще несколько формулировок лемм Жордано, доказательства которых аналогичны предыдущему. Эти леммы применяются при вычислении соответствующих интегралов.

Лемма 16.2. Если в формуле (16.1) a < 0 и f(z) удовлетворяет условиям леммы 16.1 в полуплоскости Im z < 0, то формула (16.1) справедлива при интегрировании по дуге полуокружности |z| = R, Im z < 0.

Лемма 16.3. Если в формуле (16.1) a = i α (α > 0), и функция f(z) удовлетворяет условиям леммы 16.1 в полуплоскости Re z ≥ x₀, (x₀ любое действительное число), то

, где (16.3)

Лемма 16.4. Если в формуле (16.1) a = – i α (α > 0), и функция f(z) удовлетворяет условиям леммы 16.1 в полуплоскости Re z ≤ x₀, (x₀ любое действительное число), то

, где (16.4)