Часть 1. Основы теории функций комплексной переменной

Введение

История появления комплексных чисел начинается с попыток найти всевозможные корни квадратного уравнения, но наибольший интерес к ним возник в связи с проблемами интегрирования рациональных функций: возможно ли представление любого многочлена с действительными коэффициентами в виде произведений линейных и квадратичных выражений также с действительными коэффициентами. Лейбниц утверждал, что это не так (1702 год, переписка с И. Бернулли, см. [1]) и в качестве подтверждения приводил пример разложения на множители

утверждая, что никакая пара из найденных четырех множителей не может дать в произведении многочлен с действительными коэффициентами.

Однако, как нетрудно убедиться, заключение Лейбница ложно, поскольку. Поэтому проблема заключается в интерпретации выражений вида. Развитие теории комплексных величин дало ответ на этот вопрос.

Длительный срок становления теории комплексных чисел (почти сто лет) связан с путаницей, которую вносили в математические рассуждения два хорошо известных алгебраических правила:, , справедливые для действительных чисел. Эти правила позволяют трактовать по-разному:

или.

Лишь с середины восемнадцатого века в теории комплексных чисел наступает (современный) порядок, с введением в теорию в качестве аксиомы утверждения (Л.Эйлер). Интересно отметить, что в 1702 году отношение к комплексным числам мировой научной мысли было (сформулировано Лейбницем) как к «уродам из мира идей». Но в тридцатых годах восемнадцатого века комплексные числа прочно вошли в обиход передовых научных исследований, и к этому времени Эйлер практически завершил создание теории элементарных функций комплексного переменного («Введение в анализ бесконечно малых», 1748 год).

1. Алгебра комплексных чисел

Комплексным числом называется число z = x + iy, где x и y – действительные числа, и по определению положено. Число x называется действительной частью комплексного числа z, обозначается Re z, а число y называется мнимой частью числа z, обозначается Im z. При этом два комплексных числа z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ считаются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂. Следует отметить необычную роль, которую играет знак « + » в определении комплексного числа. Этот знак разделяет x и y, и мог быть заменен, например, запятой, то есть комплексное число можно рассматривать как упорядоченную пару (x,y) действительных чисел (старое русское название комплексного числа - «комплект»). На множестве комплексных чисел алгебраические операции сложения и умножения определяются как для многочленов (двучленов):

z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + i(y₁ + y₂ ), z₁ z₂ = x₁ x₂ – y₁ y₂ + i(x₁ y₂ + x₂ y₁).

Роль комплексного нуля выполняет число 0 = 0 + i0 а роль комплексной единицы число 1 = 1 + i0. При этом очевидно, что для каждого элемента z противоположным элементом является комплексное число – z: z + ( – z) = 0. Легко проверяется, что в случае, если z  0 обратный элемент z ^– 1 (т.е. такой, что z · z ^– 1 = 1) единственным образом определяется по формуле, где. При этом действительное число называется модулем комплексного числа z, а комплексные числа z и – комплексно сопряженными друг к другу. Комплексное число можно рассматривать как расширение понятия действительного числа. Множество действительных чисел ¹ можно рассматривать как подмножество множества комплексных чисел, которое обозначается символом .

При этом для комплексных чисел выполняются все основные законы справедливые для действительных чисел за исключением упорядоченности, то есть понятия «больше», «меньше» неприменимы к комплексным числам.