- •Оглавление
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной
- •Часть 2. Решение задач по теории функций
- •Предисловие
- •Часть 1. Основы теории функций комплексной переменной
- •Алгебра комплексных чисел
- •Различные формы представления комплексных чисел
- •Предел последовательности комплексных чисел
- •Расширение понятия комплексная плоскость
- •Сфера Римана
- •Функции комплексной переменной (фкп)
- •Степенные функции
- •Показательная функция
- •Тригонометрические функции
- •Гиперболические функции
- •Логарифмическая функция
- •Обратные тригонометрические функции
- •Предел, непрерывность, дифференцируемость
- •Аналитические функции
- •Свойства аналитических функций
- •Интеграл по комплексной переменной.
- •Основные свойства.
- •Теорема Коши
- •Неопределенный интеграл и формула Ньютона - Лейбница
- •Формула Коши
- •Представление аналитических функций степенными рядами
- •Ряды Тейлора.
- •Ряд Лорана.
- •Особые точки аналитической функции.
- •Классификация особых точек
- •Теоремы о вычетах
- •Об аналитическом продолжении
- •Вычисление интегралов типа
- •Вычисление интегралов типа
- •Леммы Жордано
- •Вычисление несобственных интегралов.
- •Интегралы типа
- •Контур Бромвича и интеграл Бромвича – Вагнера.
- •Функция Хевисайда и ее интегральные представления
- •Часть 2. Решение задач по теории функций комплексной переменной
- •Комплексные числа
- •Формы записи комплексных чисел
- •Примеры с решениями
- •Алгебраические операции над комплексными числами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Элементарные функции комплексного переменного
- •Представление элементарных функций комплексного переменного в алгебраической форме
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Аналитические функции комплексного переменного
- •Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного.
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •Вычисление интегралов. Теорема Коши. Интегральная формула Коши
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Вычеты. Контурные интегралы
- •Классификация особых точек.
- •Примеры с решениями.
- •Вычеты. Вычисление контурных интегралов
- •Примеры с решениями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление определенных интегралов от действительных функций
- •Интегралы типа
- •Вычисление несобственных интегралов второго рода
- •Вычисление интегралов вида
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •394000, Воронеж, пр. Революции, 19
-
Элементарные функции комплексного переменного
-
Представление элементарных функций комплексного переменного в алгебраической форме
-
Показательная функция комплексного переменного определяется равенством
Из определения видно, что это периодическая функция с основным периодом:. Основное свойство (также как у показательной функции действительного переменного).
Логарифмическая функция. Эта функция определяется как обратная показательной: число w называется логарифмом числа z, если. Обозначение:. Следующее равенство можно принять за определение логарифмической функции комплексного переменного:
.
В отличие от функции действительного переменного Ln z является многозначной функцией; значение при k = 0 называется главным значением или главной ветвью логарифмической функции в комплексной области и обозначается ln z:
Из определения вытекают основные функциональные свойства логарифмической функции:
,
Общие показательные и общие степенные функции.
Так называют функции комплексного переменного определяемые равенствами соответственно
Общая показательная и общая степенная функции комплексного переменного в являются многозначными. Тригонометрические функции определяются (посредством формулы Эйлера) через показательную:
Эти формулы также называются формулами Эйлера. По аналогии с функциями действительного переменного определяются функции tg z и ctg z:
Для тригонометрических функций комплексного переменного справедливы все формулы, справедливые для соответствующих функций действительного переменного. Для примера, исходя из формул (9.4) (9.5), докажите равенства
, ,
, .
Гиперболические функции определяются (как и тригонометрические) через показательную функцию.
Гиперболический синус
Гиперболический косинус
Гиперболический тангенс
Гиперболический котангенс
Из определений гиперболических и тригонометрических функций вытекают формулы
, ,
, .
Замечание. Любое соотношение, справедливое между тригонометрическими функциями переходит в соответствующее соотношение между гиперболическими функциями в результате формальной замены функций и. Например, совершив указанную замену в соотношениях
,
получим следующие соотношения между гиперболическими функциями
, .
Обратные тригонометрические функции определяются как функции обратные тригонометрическим. Эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмы комплексного переменного по формулам
,
,
Обратные гиперболические функции обозначаются соответственно Arsh z (ареасинус), Arch z (ареакосинус), Arth z (ареатангенс), Arcth z (ареакотангенс). Это опять многозначные функции, которые выражаются через логарифмы комплексного переменного по формулам
, (2.9)
, . (2.10)
2.2 Примеры с решениями В задачах 1-7 значения соответствующих функций представить в алгебраической форме.
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|