7.2 Перпендикулярность прямых, прямой и плосксти. Перпендикулярность плоскостей

7.2.1 Взаимно перпендикулярные прямые.

Пример: Через точку А провести прямуюm, перпендикулярную горизонтали h ( рис 7.4 ).

Так одна из сторон h прямого угла, параллельна плоскости H, то на эту плоскость спроецируется без искажения. Поэтому через А проводим горизонтальную проекцию mh'. Отмечаем точку M= m  h. Затем находим М(M"h ), Точки М¹¹ и А определяют m.

Если вместо горизонтали будет задана фронталь и, то геометрические построения по проведению прямой mlu аналогичны только что рассмотренному случаю, с той лишь разницей, что построение неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции.

7.2.2.Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим данной плоскости.

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а горизонталь и фронталь, то появляется возможность и в этом случае воспользоваться известной теоремой о проецировании прямого угла,

Пример 1. Восстановить в вершине А перпендикуляр AD к плоскости треугольника АВС (рис 7.5 ).

92

Рис.7.5. Рис.7.6

Для того, чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали h и фронтали  плоскости треугольника АВС. Затем в точке А восставляем перпендикуляр к h, a в А' перпендикуляр к ,

Пример 2. Из точки А опустить перпендикуляр АВ на плоскость  заданную следами (рис 7.6 ).

Для решения этой задачи достаточно из А провести горизонтальную проекцию AВ_, а из А - ее фронтальную проекцию A" В_v.

7.2.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Поэтому построение плоскости , перпендикулярной к плоскости , можно осуществить двумя путями;

1. Проводим прямую m, перпендикулярную к плоскости  (или ), затем прямую m заключаем в плоскость  (или ).

93

2. Проводим прямую n, принадлежащую или параллельную плоскости  (или ), затем строим плоскость  (или), перпендикулярно к прямой n.

Так как через прямуюm можно провести множество плоскостей (первый путь решения), то задача имеет множество решений. То же самое происходит и при решении по второму пути ( в плоскости или параллельно ей можно провести множество прямых n). Чтобы конкретизировать задачу, необходимо указать дополнительные условия.

Пример 1. Чрез данную прямую а провести плоскость , перпендикулярную к плоскости , заданной параллельными прямыми 1 и f (рис.7.7.).

Рис 7.7

1. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости . для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали h' и фронтальную проекцию фронтали ,

2. Из проекции произвольной точки Аеа проводим проекции перпендикуляра m'h' и m. Плоскость , т.к m

94

Пример 2.Через данную точку А провести горизонтально проецирующую плоскость , перпендикулярную к плоскости , заданной следами (рис.7.8)

Искомая плоскость рдолжна проходить перпендикулярно к прямой, принадлежащей плоскости  В связи с тем, что плоскость  должна быть горизонтально проецирующей, то прямая, перпендикулярная к ней , должна быть параллельна плоскости H, т.е. являться горизонталью плоскости а или (что тоже самое) горизонтальным следом этой плоскости - _н. Поэтому через горизонтальную проекцию точки А проводим горизонтальный след _н_н, фронтальный след vоси X.

7.3. Определение действительной величины угля между прямой и плоскостью. Между двумя плоскостями

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость (прямая не перпендикулярна плоскости).

Пространственная геометрическая модель, иллюстрирующая это определение, показана на рис 7.9 .

План решения задачи может быть, записан:

1 .Из произвольной точки А опускаем перпендикуляр на плоскость;

2. Определяем точку встречи этого перпендикуляра с плоскостью (точка А^ ортогональная проекция точки А на плоскость );

95

3.Находим точку пересечения прямой  с плоскостью а (точка А_- след прямой а на плоскости );

4.Проводим (А°А_)- проекдию прямой а на плоскость ;

5.Определяем действительную величинуАА_А^,т.е.⁰. Решение этой задачи может быть значительно упрощено, если определять не ⁰между прямой и плоскостью, а дополнительный до 90° ° В этом случае отпадает необходимость в определении точки А^ и

проекции а_Зная величину у⁰ , вычисляем— ⁰=90-⁰.

Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми — сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру.

Дня построения линейного угла, являющегося мерой двухгранного угла, необходимо выполнить следующие графические построения, показанные на рис 7.10 в определенной последовательности,

1. Определяем прямую n - линию пересечения данных плоскостей  и  (п= );

2. Проводим плоскость n (эта плоскость будет перпендикулярна также и к плоскостям и ;

3. Определяем прямые a= и b=  ;

4. Находим действительную величину ° между прямыми а и b

. ⁰- искомый угол

96

7.4.Паралельность прямых, прямой и плоскости.

Параллельность плоскостей.

7.4.1. Параллельные прямые.

Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные

проекции также параллельны между собой.

аbа b; а b; а b

Причем, если в пространстве прямые а , b занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то для выяснения по эпюру вопроса о параллельности прямых достаточно убедиться, будут ли параллельны между собой их одноименные проекции только на двух плоскостях.

Параллельность проекции на третьей плоскости в этом случае автоматы чески удовлетворяется.

Если прямые параллельны какой- либо плоскости (хотя бы плоскости W), то условие параллельности на третьей плоскости может не выполняться, В этом случае, для выяснения вопроса будут ли прямые параллельны в пространстве, условие параллельности их одноименных горизонтальных и фронтальных проекций будет необходимым, но недостаточным. Для получения ответа следует убедиться в параллельности их профильных проекций.

На рис 7.11 показаны два возможных варианта взаимного расположения прямых АВ и CD.

Рис 7.11

97