6.5. Пересечение конуса с плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые вершину конуса, в его сечении получается пара прямых - образующие конуса ( рис 6.6, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность (рис 6.6, б).

79

Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться парабола (рис.6.6. в), гипербола (рис.6.6, г) или эллипс (рис.6.6.д,е).

Если углы (угол наклона образующей конуса к его оси) и(угол наклона секущей плоскости к оси конуса) равны, т.е. секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рис^.6.6, в). В этом случае секущая плоскостьa(av)пересекает все образующие, кроме одной, которой она параллельна.

Если секущая плоскость а(av), направленная под углом к оси вращения конуса, пересечет его так, что уголбудет меньше угла, то в сечении получится гипербола (рис.6.6.г). В этом случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

Эллипс получается в том случае, когда угол между секущей плоскостью(_) и осью вращения больше, чем уголмежду осью вращения и образующей конуса (рис.6.6. д, е), т.е. когда плоскость пересекает все образующие конуса.

На рис.6.7 дано построение проекций линии сечения конуса фронтально - проецирующей плоскостью , когда в сечении получается эллипс. На фронтальной плоскости проекций V фигура сечения - эллипс - изобразится в виде прямой АВ, совпадающей с фронтальной проекцией_секущей плоскости. Эта прямая будет большой осью эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой и проходит через ее середину. Отрезок АВделят пополам и получают фронтальную проекцию малой оси в виде точкиCD". Для нахождения горизонтальной проекции малой оси через нее проводят параллель, которая проецируется на горизонтальную

плоскость проекции окружностью радиуса ОТ.Точки 1 и 1^сечения принадлежат профильным очерковым образующим конуса. Они отделяют видимую в профильной проекции частьl-C-A"'-D"'-1^'^//

сечения от невидимой 1-В -1^///.

Натуральная величина сечения AoBoCoDo построена способом замены плоскостей проекций на плоскости Т, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса - отрезок АоВо  А₂В₂, малая - отрезок CoDo  d. Наряду с построением эллипса по точкам возможно построение его по большой и малой осям.

80

Рис 6.6

81

Рис 6.7

6.6. Пересечение сферы с плоскостью

Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, окружность сечения проецируется на эту плоскость проекций без искажения. Если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, проекциями окружности являются эллипсы.

На рис 6.8 изображена сфера, пересеченная фронтально - проецирующей плоскостью ( ), которая пересекает сферу по окружности диаметра АВ = А В с центром в точке O₁ (проекция O₁ точка пересечения v с перпендикуляром, опущенным из проекции О" центра сферы на плоскости }. Горизонтальная и профильная

82

проекции этой окружности представляют собой эллипсы, длины больших осей которых СD и C D'" равны величине диаметра окружности (А В''), малые оси эллипсов АВ' и А В'" получают проецированием.

Построение начинают с характерных точек. Точки А и В линии сечения принадлежат главному фронтальному меридиану, точки 2 и 2^ находятся на экваторе сферы, точки 3 и 3^ принадлежат главному профильному меридиану. Горизонтальные проекции Аи B^/ построены в проекционной связи на горизонтальной проекции главного фронтального меридиана по фронтальным проекциям А В

Горизонтальные проекции 2 и 2^построены в проекционной связи на

горизонтальной проекции экватора. Проекции З'" и 3^

строят по фронтальной проекции. Горизонтальные проекции (Cи D построены с

83

помощью параллели KF радиуса ОК Горизонтальные проекции промежуточных точек 1 и 4 также построены с помощью параллелей. Профильные проекции точек построены по горизонтальным и фронтальным проекциям соответствующих точек. На горизонтальной проекции часть эллипса невидима. Точки 2 и 2^ , отделяющие видимую часть эллипса от невидимой, находятся на экваторе. На профильной проекции видимость эллипса определяется с помощью проекций 3" и З^ ", которые находятся на фронтальной проекции профильного очерка.

Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.