Математика для инженеров(теория)I том

Поскольку V является n -мерным, то система векторов e1,e2 ,K,en , x линейно зависима, то есть существуют не все равные нулю числа β1, β2 ,K, βn , βn+1 такие, что

Покажем, что βn+1 ¹ 0 . Действительно, предположим противное, то есть βn+1 = 0 , получим, что β1, β2 ,K, βn не все равны нулю, а тогда из (6) следует, что векторы e1,e2 ,K,en линейно зависимы,

котором базисе имеет координаты α1,α2 ,K,αn , то записы-

вают x = (α1;K;αn ) .

Отметим, что операции над векторами, введенные в

§1, сводятся к операциям над их координатами.

Чтобы это проверить, надо убедиться в том, что име- ют место следующие свойства: а) вектор x является нуле-

вым вектором n -мерного линейного пространства V тогда и только то- гда, когда все его координаты в любом базисе пространст- ва V равны нулю; б) координаты суммы двух векторов в задан- ном базисе пространства V равны сумме соответствующих ко- ординат рассматриваемых векторов в этом же базисе; в) координаты произведения вектора на число равны произ-

173

ведению соответствующих координат на это число; г) два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соот- ветствующие координаты в одном и том же базисе; д) век-

тор x является линейной комбинацией векторов x1,K, xn тогда и только тогда, когда каждая координата вектора x является такой же ли-

нейной комбинацией соответствующих координат этих векторов в одном и том же базисе.

Вычисление ранга системы векторов сводится к вы- числению ранга матрицы, столбцы которой являются ко- ординатами рассматриваемых векторов. Такую матрицу называют матрицей системы векторов в данном базисе. Обратно, если дана мат-

рица размера n ´ m , то ей можно поставить в соответствие сис- тему m векторов n -мерного линейного пространства, со- стоящую из столбцов этой матрицы.

Пример 2. Найти ранг системы векторов:

ис помощью прямого хода метода Гаусса приведем

еек виду

по которому устанавливаем, что ее ранг равен 4 (ее определитель равен 640 ¹ 0), а значит, ранг указанной системы векторов равен 4. По- скольку система содержит четыре вектора, то она линейно независима и образует базис. □

174

Значит, α1 = DD1 = --1212 =1,α2 = DD2 = 0,α3 = DD3 = --124 = 13.

Итак, искомое разложение имеет следующий вид: x =1× x1 + 0x2 + 13 x3. □

Утверждение 4. Система m векторов n –мерного ли-

нейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен m .

Упражнение 4. Обосновать приведенное выше ут- верждение.

175

Из утверждения 4 вытекает, что система n векторов n -мерного линейного пространства линейно независима в том и только в том случае, когда матрица этой системы векторов я в л я е т с я н е в ы р о ж д е н н о й .

§ 3. Преобразование координат вектора при замене базиса

Координаты вектора (§2) определяются выбором базиса, а значит, координаты одного и того же вектора будут различными в разных базисах.

Формулами преобразования координат называются формулы, которые связывают координаты вектора в разных базисах.

Пусть в n -мерном линейном пространстве V заданы два различных базиса B1 = {e1,e2 ,K,en} и B2 = {e1′,e2′,K,en′} .

Матрицей перехода от базиса B1 к базису B2 называется матрица системы векторов B2 в базисе B1 . Векторы из B2 единственным образом можно разложить по базису B1 :

рехода от базиса B2 к базису B1 . Всякую невырожденную

матрицу порядка n можно рассматривать как матрицу пе- рехода от одного базиса n -мерного линейного пространст- ва к другому базису этого пространства.

Возьмем произвольный вектор x из n -мерного ли- нейного пространства V и рассмотрим его координаты

176

x1, x2 ,K, xn и x1′, x2′,K, xn′ соответственно в базисах B1 и B2 ,

n n

т. е. x = åxiei = åxi¢ei′.

i=1 i=1

j=1

Формулы (4) выражают старые координаты x1, x2 ,K, xn вектора x

через его новые координаты и называются фо рмулами преобразования координат при переходе от базиса B1 к базису B2

Рординат при переходе от базиса i, j

ибазису i¢, j¢ .

177

даны три базиса B1,B2 ,B 3= {e1′′,e2′′ ,K,en′′}. Переход от базиса B1 к базису B 3 можно осуществить двумя способами или непосредственно

x = T x¢ = T (Rx¢¢) = (TR)x¢¢ = Sx¢¢ , отсюда S = TR .

Таким образом, при последовательном преобразовании координат матрица S перехода от базиса B1 к базису B 3 равна про- изведению матриц T и R промежуточных переходов.

§ 4. Евклидово пространство

10. Определение евклидова пространства. В линейном пространстве V кроме операций сложения элементов и умножения элемента на действительное число, введем еще одну опе- рацию – скалярное произведение . Каждой паре векторов

x, y V сопоставим действительное число (x, y) , которое и н а з о в е м с к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м .

1)(x, y) = ( y, x) ;

2)(λx, y) = λ (x, y) ;

3)(x + y, z) = (x, z) + ( y, z) ;

4)(x, x) > 0 при x ¹ 0,(x, x) = 0 для x = 0 .

Очевидно, что скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов нулевой: (0, y) = (0x, y) = 0(x, y) = 0 .

Скалярное произведение (x, x) вектора x на себя называют

скалярным квадратом этого вектора.

178

Евклидовым пространством называется линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов, удовлетворяющая аксио-

мам 1) – 4).

В качестве примера евклидова пространства рассмотрим n-мерное линейное пространство n упорядоченных совокупностей n действитель- ных чисел. Скалярное произведение двух его векторов x = (x1; x2;K; xn ) ,

Упражнение 1. Проверить, что все аксиомы 1) – 4) скалярного произведения выполняются.

Рассматриваемое линейное пространство со скаляр- ным произведением (1) называется n-мерным евклидовым

пространством n (сохраним для него прежнее обозначе- ние).

20. Норма вектора евклидова пространства. Нормой вектора x

евклидова пространства называется арифметическое зна-

Например, в евклидовом пространстве n норма век- тора x = (x1; x2;K; xn ) определяется формулой

3. (x, y) £ x× y .

4. x + y £ x + y .

Доказательство. Свойство 1 непосредственно выте-

0 £ x +α y2 = (x +α y, x +α y) = ( y, y)α2 + 2(x, y)α + (x, x) . (3)

179

Рассматривая правую часть (3) как квадратный трех- член относительно α , сохраняющий свой знак и имеющий неположительный дискриминант, получаем неравенство:

Неравенство (6) называют неравенством треугольни-

ка.

30. Угол между двумя векторами евклидова пространства.

Из неравенства (5) получаем

косинус некоторого угла. Углом между векторами x и y евклидова пространства называется угол ϕ , для которого

§ 5. Ортогональный и ортонормированный базисы

10. Ортогональные системы векторов. Векторы x и y евклидова пространства V называются ортогональными (x ^ y), если выполняется

условие (x, y) = 0 .

180

Так как в геометрическом пространстве свободных

векторов 3 понятие ортогональности совпадает с поняти- ем перпендикулярности векторов , то ортогональность можно рассматривать как обобщение понятия перпендикуляр- н о с т и в а б с т р а к т н о м е в к л и д о в о м п р о с т р а н с т в е .

Система векторов

называется ортогональной, если ее векторы попарно ортогональны,

т.е. (ai ,a j ) = 0 при i ¹ j .

Утверждение 1. Ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, является линейно независимой.

Доказательство. Пусть совокупность (1) – конечная ортогональная система n ненулевых векторов. Предполо- жим противное, эта система линейно зависима. Тогда найдутся та- кие числа α1,α2 ,K,αn , не все равные нулю, что

Тогда получим αi = 0,i =1,n , что противоречит предположе-

нию и, значит, при конечном n утверждение 1 имеет ме- сто. Бесконечная ортогональная система из ненулевых векторов также линейно независима, т.к. линейно независима каждая ее конечная часть. □

Пусть теперь V – n-мерное евклидово пространство. Тогда, в силу утверждения 1, ортогональная система векторов (1) обра- зует ортогональный базис этого пространства.

в 3 . Найти координаты вектора b = (1;1;1) в этом базисе.

181

Решение. Вычислим скалярное произведение векто-

a1,a2

до ортогонального базиса. Тогда (a1,a3 ) = 0, (a2 ,a3 ) = 0 или в

координатной форме