1.3. Твердые растворы

Твердые растворы (ТР) - кристаллические фазы переменного состава, в которых атомы элемента В размещаются в пространственной решетке элемента А, не изменяя ее типа.

Для ТР характерен металлический тип межатомной связи. Твердые растворы обозначают: , , ,  или А(В). Твердые растворы всегда более тверды, чем чистые металлы, менее пластичны. Их образование всегда сопровождается увеличением электрического сопротивления, как правило, снижаются пластичность и вязкость. Твердые растворы бывают упорядоченными и неупорядоченными. Твердые растворы, устойчивые при сравнительно низких температурах, получили название упорядоченных твердых растворов, или сверхструктур. Полностью упорядоченные растворы образуются в том случае, когда отношение компонентов в сплаве равно целому числу: 1:1, 1:2, 1:3 и т.д. Они занимают промежуточное положение между твердыми растворами и химическими соединениями. При изменении температуры происходит разупорядочение ТР с соответствующим изменением свойств. Температуру разупорядочения _к называют точкой Курнакова. Упорядоченные твердые растворы обозначают буквами ’, ’, ’, ’. Все металлы могут в той или иной степени взаимно растворяться друг в друге в твердом состоянии. В тех случаях, когда компоненты могут замещать друг друга в кристаллических решетках в любых количественных соотношениях, образуется непрерывный ряд твердых растворов. Твердые растворы замещения с неограниченной растворимостью могут образоваться при соблюдении следующих условий: 1. Компоненты должны обладать одинаковыми по типу (изоморфными) кристаллическими решетками. 2. Различие в атомных размерах компонентов должно быть не значительным и не превышать 8 – 15 %. 3. Компоненты должны принадлежать к одной и той же группе периодической системы элементов или к смежным родственным группам и в связи с этим иметь близкое строение валентной оболочки электронов в атомах.

1.Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.

Экстре́мум в математике —максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) > f(x₂)). Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x)  0 (f ^' (x)  0).

2.Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функций.

Непрерывная на отрезкеке [a; b] функция f (x) называется   выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x₁ и x₂ из этого отрезка 

Другими словами, если для любых точек x₁ и x₂ отрезка [a; b] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх. Аналогично определяется функция, выпуклая вниз. Пусть функция f (x) непрерывна в точке х₀ и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка х₀ называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости. Необходимое условие наличия точки перегиба. Если х₀ – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то 

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке   Если   меняет знак при переходе через точку   то   – точка перегиба функции f (x).

асимптоты прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

3.Первообразная функции и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов.

Первообра́зной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Так, например, функция   является первообразной  . Неопределённый интегра́л для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a,b) и F(x) — её первообразная, то есть F^’(x)=f(x) при a<x<b , то a<x<b

4.Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям.

Пусть функции и(х), v(x) имеют непрерывные производные, тогда — формула интегрирования по частям. Она применяется, если  более прост для интегрирования, чем  . для неопределённого интеграла: для определённого:

Пример:

7.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Рассмотрим функцию f(x) , заданную на отрезке [a;b] , и предположим, что она интегрируема на отрезке [a;b]   . Тогда при любом   эта функция будет интегрируема на отрезке [a;x] и, следовательно, функция  определена при всех   . При   мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что   для любой функции f и точки C из её области определения. Итак, функция Ф(х) равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции f(x) , не обязательно непрерывной.   

 Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда 

8.Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

    

Доказательство:

Так как по формуле интегрирования по частям будет

то

откуда и следует исходное выражение.

9.Несобственные интегралы первого и второго рода Первого рода. Предположим, что функция f(x) задана на бесконечном промежутке вида  и интегрируема на любом конечном отрезке [a,b] , где b>=a . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной: Если эта функция имеет предел при   , то число   называется значением несобственного интеграла первого рода: а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

5.Определенный интеграл и его геометрический смысл.

Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции. Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).

6.Основные свойства определенного интеграла.

-Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.  , где х, t – любые буквы.

-Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

-При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

-Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

-интеграл суммы равен сумме ингералов

10.Векторное пространство : основные понятия – множество возможных упорядоченных после-ей n действительных чисел. Элементы x=(x1,x2…xn) множество будем называть точками, а точки x1…xn-координатами. Суммой наз-ся точка x+y=(x1+y1…xn+yn), произведение ax=(ax1…axn).Расстоянием в называют функцию d : (x,y) → d(x,y) R удовлетворяющую условиям:

1. d(x; y) > 0; d(x; y) = 0 x = y

2. d(x; y) = d(y; x) (симметричность)

3. d(x; y) < d(x; z) + d(z; y) (неравенство треугольника)

Формула d(x,y)= –определяет расстояние в

Точка m наз-ся граничной точкой множества M, если в любой её окружности есть точка множества М и точки не принадлежат М. Совокупность всех граничных точек мно-ва М наз-ся границей М.

12.Непрерывность функции многих переменных Определение1.Функция f наз. непрерывной в точке x0, если lim f(x)=f(x0). Это означает, что (  ε > 0  δ > 0) ( x   D, d(x,x0)< δ): d (f (x), f (x0)) < ε. Определение 2. Функция y=f(x) непрерывна в точке x0 вдоль множества L, если lim f(x)=f(x0) при x→x0 Определение3. Функция u = f(x) = f(x1 … xn) называется непрерывной в точке a = (a1… an) по переменной xk , если lim при Δxk → 0 δxku = 0. Теорема 1. Если функция u = f(x) = f(x1, x2, … , xn) непрерывна в точке a, то она непрерывна в этой точке по каждой переменной x1, x2, … , xn . Обратное утверждение неверно. Теорема 2. Пусть функции f(x) и g(x) , определены в области D М Rn и непрерывны в точке a = (a1, a2, … , an) D . Тогда функции f(x) + g(x) , f(x) · g(x) и f(x)/g(x) (при g(a) ≠ 0) непрерывны в точке а Теорема 3. Всякая элементарная функция нескольких переменных непрерывна на множестве, на котором она определена. Теорема 4. Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, ограничена на этом множестве. Теорема 5 (Вейерштрасс). Функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего и наименьшего значений.

11.Предел последовательности в IRn. Предел функции многих переменных. Отображение a : N , a : k а(k) = ( ), наз-ся послед-ью точек из . Последовательность обозначают ( . Говорят,что после-ть( ) сход-ся к пределу а , если lim при k d( ,a)=0 Теорема. lim при k =(a1…an) lim при k , i=1,..n Док-во: Пусть lim при k , т.е при достаточно больших k выпол. , тогда g( . Теорема доказана. Теорема(критерий Коши): Для того,ч тобы пос-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной: Число А наз-ся пределом фу-ции u=f(x) при x , если .

Пусть L X, a- предельная точка множества L. Число А наз-ют пределом ф-ции f при х , если

если и обозначают lim при х , х f(x)=A.