- •1.3. Твердые растворы
- •1.Экстремумы функций. Возрастание и убывание функций.
- •2.Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функций.
- •3.Первообразная функции и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов.
- •4.Замена переменной в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям.
- •8.Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
- •5.Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •6.Основные свойства определенного интеграла.
- •1.3. Твердые растворы
- •1.3. Твердые растворы
- •14.Производные и дифференциалы высших порядков для функций многих переменных. Формула Тейлора
- •16.Площадь фигуры и объём тела
- •1.3. Твердые растворы
- •1.3. Твердые растворы
- •1.3. Твердые растворы
- •1.3. Твердые растворы
- •1.3. Твердые растворы
- •1.3. Твердые растворы
- •1.3. Твердые растворы
- •1.3. Твердые растворы
1.3. Твердые растворы
Твердые растворы (ТР) - кристаллические фазы переменного состава, в которых атомы элемента В размещаются в пространственной решетке элемента А, не изменяя ее типа.
Для ТР характерен металлический тип межатомной связи. Твердые растворы обозначают: , , , или А(В). Твердые растворы всегда более тверды, чем чистые металлы, менее пластичны. Их образование всегда сопровождается увеличением электрического сопротивления, как правило, снижаются пластичность и вязкость. Твердые растворы бывают упорядоченными и неупорядоченными. Твердые растворы, устойчивые при сравнительно низких температурах, получили название упорядоченных твердых растворов, или сверхструктур. Полностью упорядоченные растворы образуются в том случае, когда отношение компонентов в сплаве равно целому числу: 1:1, 1:2, 1:3 и т.д. Они занимают промежуточное положение между твердыми растворами и химическими соединениями. При изменении температуры происходит разупорядочение ТР с соответствующим изменением свойств. Температуру разупорядочения к называют точкой Курнакова. Упорядоченные твердые растворы обозначают буквами ’, ’, ’, ’. Все металлы могут в той или иной степени взаимно растворяться друг в друге в твердом состоянии. В тех случаях, когда компоненты могут замещать друг друга в кристаллических решетках в любых количественных соотношениях, образуется непрерывный ряд твердых растворов. Твердые растворы замещения с неограниченной растворимостью могут образоваться при соблюдении следующих условий: 1. Компоненты должны обладать одинаковыми по типу (изоморфными) кристаллическими решетками. 2. Различие в атомных размерах компонентов должно быть не значительным и не превышать 8 – 15 %. 3. Компоненты должны принадлежать к одной и той же группе периодической системы элементов или к смежным родственным группам и в связи с этим иметь близкое строение валентной оболочки электронов в атомах.
где - вектор Лангранжа.
-Составим систему из уравнений
-Если полученная система имеет решение, то есть решение исходной задачи
3. произведение интегрируемых ф-ций.
2)z1* z2= r1r2(cos φ1+ isin φ1 )( cos φ2 + i sin φ2)= r1r2(cos φ1 cos φ2 +i cos φ1 sin φ2+ isin r1r2cos φ2 -sin φ1 sin φ2)= r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)
|
Из этой формулы след. формула Муавра: 3)
|
4. +isin ,k=0,n-1
4.Ф-ции P и Q удовлетв. условию Эйлера
Замечание.При нахождении ф-ции F за основу можно брать рав-во ,котор. сначало интегрир. по перемен. y,а затем дифференц. по перем. x.
1.3. Твердые растворы
Твердые растворы (ТР) - кристаллические фазы переменного состава, в которых атомы элемента В размещаются в пространственной решетке элемента А, не изменяя ее типа.
Для ТР характерен металлический тип межатомной связи. Твердые растворы обозначают: , , , или А(В). Твердые растворы всегда более тверды, чем чистые металлы, менее пластичны. Их образование всегда сопровождается увеличением электрического сопротивления, как правило, снижаются пластичность и вязкость. Твердые растворы бывают упорядоченными и неупорядоченными. Твердые растворы, устойчивые при сравнительно низких температурах, получили название упорядоченных твердых растворов, или сверхструктур. Полностью упорядоченные растворы образуются в том случае, когда отношение компонентов в сплаве равно целому числу: 1:1, 1:2, 1:3 и т.д. Они занимают промежуточное положение между твердыми растворами и химическими соединениями. При изменении температуры происходит разупорядочение ТР с соответствующим изменением свойств. Температуру разупорядочения к называют точкой Курнакова. Упорядоченные твердые растворы обозначают буквами ’, ’, ’, ’. Все металлы могут в той или иной степени взаимно растворяться друг в друге в твердом состоянии. В тех случаях, когда компоненты могут замещать друг друга в кристаллических решетках в любых количественных соотношениях, образуется непрерывный ряд твердых растворов. Твердые растворы замещения с неограниченной растворимостью могут образоваться при соблюдении следующих условий: 1. Компоненты должны обладать одинаковыми по типу (изоморфными) кристаллическими решетками. 2. Различие в атомных размерах компонентов должно быть не значительным и не превышать 8 – 15 %. 3. Компоненты должны принадлежать к одной и той же группе периодической системы элементов или к смежным родственным группам и в связи с этим иметь близкое строение валентной оболочки электронов в атомах.
25.Линейное пространство: определение и примеры. Определение1.Мн-во V с определ-ми на нем операц. сложен. вект. и умнож. вект. на число назыв.веществ.вектор.(линейн) простр-ом,если указанные операц. облад след св-ами: 1.x+y=y+x(коммуникативность) 2.x+(y+z)=(x+y)+z(ассоциативность) 3.сущ. нулевой элем. мн-ва V,обознач. 0,такой что 0+x=x, 0,х 4.для сущ. противопол элем -х ,такой что х+-х=0 5. , x 6. , x 7. , x,y 8.1*x=x x
Примеры: 1.Если V есть мн-во своб вект.|R3 c обычным пониманием опер слож вект. и умнож.вект. на число. 2.мн-во -мн-во матриц размера m , в кот. сложение вект и умнож вект на число понимаются всмысле сложен матриц и умножение матрицы на число. 3.мн-во [x]-мн-во многочленов с действит коэффиц степени .Операции слож вект и умнож вектора на число поним. в обычном смысле слож многочлена и умнож многочленов на число. Замечание. комплексное вект. Пространство опред. так же,как и веществ. вект. пр=во,если только в опред.1 мн-во заменить на мн-во C.
26.Линейная зависимость и независимость векторов в линейном пространстве. Определение1.Сис-ма векторов a1…an(или векторы)назыв. линейно-независ.,если их лин. комбин. а=0 только в том случае, если все , в противном случаи данная сист. век-ов (векторы)назыв. лин-зависимыми. Другими словами векторы a1…an лин-зависимы,если сущ. числа , одновремнно не равные нулю такие,что линейн комбин. Утверждение 1.Если в сик. вект-ов a1…an имеется нулевой вектор,то система векторов лин-зависимы. Док-во.Пусть а1=0.Составим a= a1+ a2+….+ an,где -любое число, … =0,a=0. Утверждение2.Если некот. из век-ов в сист. a1…an явл. лин-зависимыми,то и вся система вект. лин-зависима. Утверждение 3.Векторы a1…an лин-зависимы тогда,когда хотя бы один из них выражается через остальные. Док-во.Пусть для определ-сти вект а1 выражается через остальные,т.е.а1= a2+… an. Положим ,тогда лин. комбин. a1+ a2+….+ an=0(1),т.е. вект лин-зависимы. Пусть теперь векторы a1…an лин-зависимы,тогда имеет место (2) причем (2)не все равны 0.предположим для определ.,что ,тогда из (2) …- , т.е. вектор а1 выражается через остальные векторы сис-мы .
27.Базис и размерность линейных пространств. Координаты вектора. Рассм. вект. пр-во V. Определение.Сис-ма вект. векторного пр-ва V назыв базисом,если она лин-независ. и каждый вектор пр-ва V выраж. через неё.Лин. пр-во V,имеющее базис,сотоящий из конечного числа элементов назыв конечномерным.Число элементов входящих в базис назыв размерностью пр-ва V. Пусть в пр-ве V задан базис (e1…en),т.е. пр-во V явл конечномерным.Его размерность будем обозначать dim,т.е.dimV=n,далее будем обозн. Vn. Утверждение1.В пр-ве Vn любая линейно-независ сис-ма nвекторов явл. базисом. x = 1e1 + … + nen. (1) Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e1, … , en . Если обозначим базис E=(e1…en),ввести вектор (координаты столбец вектора х),то рав-во (1) можно записать в виде x=E . Замечание.Обратим внимание,что базисные векторы упорядоченные.Если измен. порядок следования векторов в базисе,то получим новый базис. Теорема1.Координаты вектора в заданном базисе определ одназначно.Другое разложение вектора по базису единственное. Теорема2.Два век-ра в пр-ве Vn равны тогда,когда равны их соответствуюшие координаты.
28.Преобразование координат. Пусть в Vn задано 2 вектора(базиса) F= )и F′=( )и пусть вектор Х Vn в базисе Е имеет координаты α= (т.е. вектор-столбец координат), и в базисе имеет координаты α′= Здесь индексы и указывают на базисы, взятые в соответствии с координатами. Установим связь между α и α′. Сначала элементы в разложим по базису Е: = )( ) ………………………………………………………………. (1) = )( ) Если ввести матрицу А= ,то (1) можно заменить Е′=ЕА (2) Матрица А называется матрицей перехода от базиса Е к Е′. Обратим внимание, что каждый k-ый столбец матрицы А представляет собой координаты вектора в базисе Е. А поскольку базисные вектора линейно независимые, то и столбцы А линейно независимы, т.е. матрица А невырожденная.
Построим вектор Х ,с использ. координат его можно записать: Х=Еα-Е′α′
Это равенство в силу А перепишем в виде Еα=ЕАα′=>Е(α-Аα)′, отсюда α=Аα′(3) Формула (3) выражает зависимость между координатами вектора Х в базисе Е и Е′, т.е. зная координаты базиса Е в Е′ по формуле(3) можно найти координаты вектора, верно и обратное, т.к. из (3) следует:
Α=
.
31.Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобные матрицы Пусть V – линейное пространство, заданное двумя базисами е= ) и е′=( ). Пусть S матрица перехода от базиса к базису e’, т.е. Е′=SE (1) Пусть f – линейный оператор, действующий в пр-ве Vn, матрица которого в базисе Е обозначена через А, а в базисе Е′ через В. Возьмем х Vn и положим у=f(x). Векторы х и у разложим по базисам Е и Е′: x=EX=E′X′ y=EY=E′Y′ (2) Используемые матрицы А и В запишем :У=АХ, У′=ВХ′, SY=BSX , SAX=BSX – это равенство справедливо для любого вектора х, поэтому S′A=BS, A= BJ(или B=SA )(3). (3) устанавливает связь между матрицами 1-ого и также лин. оператора в разных базисах. Определение: матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица S , что A= BS, В= AS При этом матрица S называется трансформирующей. Ра-ва A= BJ называется преобразованием подобия или преобразованием матрицы. Свойства: 1)Если А~В, В~С, то А~С, А= BS, B= С => A= C = C S= S 2)определители и ранги подобных матриц равны
32.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Определение: Если для некоторого Х Vn, x не равен 0 существует λ такое, что f(x) = λx, то вектор х называется собственным, а число λ собственным значением оператора f, соответствующее собственному вектору х. Множество всех собственных значений f называется спектром оператора f. Если = => =0 => т.к. х не равен 0=> = Замечание: Одному и тому же собственному значению может соответствовать множество собственных векторов, линейно зависимых между собой. Определение: Пусть А – произвольная матрица, λ – некоторое число, J – единичная матрица. Матрица А-λJ называется хар-ой матрицей по отношению к А. Определитель этой матрицы det(A-λJ) называется хар-м многочленом матрицы А
Тогда det(A-λJ)= =φ(λ) Если раскрыть этот определитель, то можно увидеть, что φ(λ) будет представлять собой многочлен степени n – ровно столько корней он имеет. Замечание: многочлен степени n может иметь действ. Корней меньше, чем n. Итак, для нахождения собственных значений и собственных векторов решение уравнения (λ)=0. Пусть – корни этого уравнения. Если пространство Vn является вещественным линейным пространством, то из найденных чисел
ост. Только действительные числа. В случае камп-ого линейного пространства берем все
Числа являются собственными значениями оператораf(A). Для каждого собственного значения , ему соответствующие. Для этого решаем СЛАУ: (А- J)X=0 (1)
В общем случае она может иметь бесконечно много решений
Замечание: Пусть имеем многочлен P(λ). Под кратностью к корня уравнения P(λ)=0 понимают кол-во раз сколько он встречается в наборе тех корней многочлена P(λ).
Если корень мн-ва P(λ) кратности к, то P(λ)=0 Р(к)=0 (λк)=0
Кроме того P(λ) пред. В виде P(λ)= φλ, где φλ – многочлен степени degP( -λ)
33.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду Теорема 1. Линейный оператор A в Rn приводится к диагональному виду тогда и только тогда, тогда его собственные векторы образуют базис в Rn. Доказательство. Необходимость(. Пусть в базисе матрица оператора A диагональная:
А=
Тогда , ,…., , т.е. базис состоит из собственных векторов, отвечающих собственным значениям . Достаточность . Пусть базис из собственных векторов, отвечающих собственным значениям . Тогда ,…., , и
А=
Укажем достаточное условие приводимости оператора к диагональному виду.
Теорема 2. Если линейный оператор в имеет различных собственных значений, то собственные векторы, отвечающие им, образуют базис в , а матрица оператора в этом базисе диагональная.
Доказательство для . Пусть - собственные значения, а -собственные векторы оператора в . Покажем, что эти векторы линейны независимы. Пусть и
Отсюда
Значит, . Аналогично, . Теорема доказана.
29.Линейные отображения. Линейные операторы Пусть v и векторные пространства, отображение f: v→ называется линейным, если: 1) , для всех х, у Vи α R. Таким образом линейные преобразования сохраняют линейные операции. Обратим внимание, что в соответствии (х+у), α(х) используются операции сложения и умножения определены в пространстве V, а f(x) + f(x), αf(x) определены в пространстве V′. V и V′ в общем случае могут отличаться Свойства линейных преобразований: 1)Если f :v→ линейное преобразование, и векторы( … ) линейно зависимы в пространстве V , то линейно зависимы вектора f( ), f( ) Примеры: преобразование i: V→V′, i(x) 1)f(x)=Ax , где Ax – матрица размера m*n 2)Преобразование f:R→ и действия по правилу F(x)=f( + )= a+ib не принадлежит С Примеры лин.оператора: 1)В прос-ве 2)Умножение матрицы-столбца(строки) на квадратную матрицу 3)В пространстве свобод.векторов поворот вектора на заданный угол
30.Матрица линейного оператора Пусть Vn векторные пространства, f – лин. Оператор,Е= ) – базис в Vn. Раз f:Vn в себя, то элементы f( ) , f( ) будут элементами пр-ва Vn , а значит их можно разложить по базису Е
f( )= )
………………………………………………….. (1)
g( )= ) Составим матрицу А= Обозначим f(E)=f( …f( Тогда (1) можно записать в виде:f(E)=EA. Матрица А называется матрицей линейного оператора f в базисе Е. Заметим, что матрица А зависит от базиса. Итак, показали, что каждому лин. оператору соответствует в заданном базисе матрица, верно и обратное. Обратим внимание, что каждый k-ый столбец матрицы А представляет собой координаты элемента f( ). Возьмем Х Vn и положим у=f(х). Пусть Х, У координаты столбца-вектора х и у в базисе Е, тогда ЕУ=f(x)=f(EX)=f(E)X=EAX Из этого равенства на основании того, что базисные векторы линейно независимы,
оординатный столбец, т.е. любой лин. оператор можно определить соотношением (2)
34.Евклидово пространство. Ортогональный и ортонормированный базисы ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение (ху)векторов х- (x1, . . . , хn)и y = (y1, . . . , yп)имеет вид (xy)=x1y1+. . .+хnуп. В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) (хх)/0, (хх) = 0 лишь при x=0; 2) (ху) = (ух)*; 3) (aху) = a(ху); 4) (x{y+z}) =(xy)+ (xz), где a - любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение. Базис e1, e2, … , en в n –мерном евклидовом пространстве En называется ортогональным, если (ei, ej) = 0 i ≠ j , т.е. все векторы попарно ортогональны. Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным. Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство (метод ортогонализации Грама–Шмидта). Пусть f1, f2, … , fn — произвольный базис в En . Построим ортогональный базис e1, e2, … , en следующим образом. Положим e1 = f1 , e2 = f2 + αe1 . Найдем α из условия ортогональности: (e1, e2) = 0 (f2, e1) + α (e1, e1) = 0.
|
Отсюда
|
|
|
Предположим теперь, что уже построена ортогональная система из k − 1 ненулевого вектора — e1, e2, … , ek − 1 . Тогда вектор ek ищем в виде
|
|
(1) |
Из условий ортогональности вектора ek и векторов e1, e2, … , ek − 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда
|
|
35.Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Пусть L есть векторное пространство над полем K и — базис в L. Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде где , а — некоторые элементы поля K. Свойства:---Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.---Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.---Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа Из коэффициентов квадратичной формы составим симметричную матрицу А=
которую назовем матрицей квадратичной формы.
36.Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду
Метод Лагранжа - это просто метод выделения полных квадратов. Например: (собираем все слагаемые с ) (обозначаем ) . Если на каком-то шаге нет квадрата очередной переменной, но есть смешанное произведение, то надо сделать замену типа , , чтобы квадрат появился.